Тема: Использование различных способов решений квадратных уравнений в математическом анализе Выполнил: Журавлев Сергей Учащийся 10 «Б» класса МОУ СОШ 66 Руководитель: Свешникова Р.С.

О, математика земная, Гордясь, прекрасная, собой Ты всем наукам мать родная, И дорожат они тобой. Твои расчеты величаво Ведут к планетам корабли Не ради праздничной забавы, А ради гордости Земли. Чтобы мысль людская в поколение Несла бесценные дары, Великих гениев творения, Полеты в дальние миры. В веках овеяна ты славой, Светило всех земных светил. Тебя царицей величавой Недаром Гаусс окрестил. Строга, логична, величава, Стройна в полете, как стрела, Твоя немеркнущая слава В веках бессмертье обрела. Я славлю раз ум человека, Дела его волшебных рук; Надежду нынешнего века Царицу всех земных наук.

Цель проекта В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать другие уравнения математического анализа. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Содержание: Немного истории. Основные способы решения квадратных уравнении. Приведенное квадратное уравнение. Решение квадратных уравнении по формуле. Половинный дискриминант. Теорема Виета. Обратная теорема. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Метод переброски. Графический способ. Основные приемы решения уравнения. Биквадратное уравнение Применение методов решения квадратных уравнений в тригонометрии Метод Горнера Закрепление материала.

Немного истории. Рене Декарт Исаак Ньютон Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (хІ ±х=а) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах=b или axІ = b. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились.

Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах²+bх=с, где a>0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль- джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ах² = bх, ах=с, ах² + c=bx, ax² +bх = с, bх+с=ах² (буквами a, b и с обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х²+bx=c, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем ( ). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара ( ), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так : корнями уравнения (a+b)xx²=ab являются числа а и b.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 +вх+с=0, где х – независимая переменная; а, в, с – некоторые числа, причем а0. а – первый коэффициент, в – второй, с – свободный член. Квадратное уравнение называется ещё уравнением второй степени. Если в квадратном уравнении ах 2 +вх+с=0, хотя бы один коэффициент в или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнение бывают трех видов: 1) ах 2 +с=0, где с – не равно нулю; 2) ах 2 +вх=0, где в – не равно нулю; 3)ах 2 =0. Уравнения – это равенство содержащее неизвестную. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет.

Основные способы решения квадратных уравнении. В общем для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+с=0, при с0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение х² = -с/а равносильных уравнению ах²+с=0, т.к с0, то –с/а тоже не равно нулю: 1) Если - с/а>0, то уравнение имеет два корня :х= - -с/а ; х=-с/а. 2) Если - с/акорней нет, т.к -3/4

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах²+вх=0, при в не равно нулю раскладывают его левую часть на множители получают уравнение х(ах+в)=0; х=0 или ах+в=0; х= - в/а => неполное квадратное уравнение, при в0, всегда имеет два корня. Пример : 2х²+4х=0; 2х(х+2)=0, х = 0 или х+2=0; х=-2 ; Ответ : x=0, x= - 2. Неполное квадратное уравнение вида ах²=0 равносильно уравнению х²=0 и поэтому имеет единственный корень х=0.

Приведенные квадратные уравнения – это уравнения, в которых первый коэффициент равен единице. Пример: х²+10х+25=0, это уравнение представим в виде квадрата двучлена (х+5)²=0, х+5=0, х=-5, т.е мы выделили квадрат двучлена Ответ: х= - 5. Пример: х²+8х-1=0, х²+2х · 4-1=0, х²+2х · 4+16=16+1, (х+4)²=17, х+4=17 или х+4=-17 => х=17-4, х= Ответ :х=17-4; х= Пример: х²-6х-7=0, х²-6х+9=9+7, т.е мы прибавили к обеим частям 9 => (х-3)²=16, х-3=4 или х-3=-4; х=7, х=-1 Ответ: х=7; х= -1. Приведенное квадратное уравнение.

Уравнения решают в общем виде и в результате получают формулу корней. Решим уравнение вида ах²+вх+с=0 (1) разделим обе части уравнения на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение: х²+в/а · х+с/а=0. Преобразуем (выведем полный квадрат двучлена) х²+2х · в/а+(в/2а)²=(в/2а)²-с/а; (х+в/2а)²=в²-4ас/4а² (2) Число его корней зависит от знака дроби: в²-4ас/4а², т.к а0, то 4а²- число положительное. Поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т.е. выражение в²-4ас. А в²-4ас дискриминант квадратного уравнения ах²+вх+с=0 (дискриминант – различитель) Его обозначают буквой D=в² - 4ас. Уравнение(2) запишем в виде (х+в/2а)²=D/4а², рассмотрим различные случаи в зависимости от D: 1) Если D>0, то х+в/2а= - D/2а или х+в/2а = D/2а; х=-в/2а -D/2а или х= - в/2а+D/2а х= -в-D/2а или х= - в+D / 2а=> уравнение (1) имеет два различных корня: х= -в±D/2а, где D=в²-4ас – формула корней квадратного уравнения. Решение квадратных уравнении по формуле.

2) Если D=0, то уравнение (2) имеет вид: (х+в/2а)²=0, х+в/2а х= - в/2а уравнение (1) имеет два одинаковых корня -в/2а => формула квадратного уравнения имеет вид х= - в±D/2а ; х= - в±D/2а; х= - в/2а. 3]Если D уравнение (1) не имеет корней. Пример: 2х²+3х+1=0, а=2, в=3, с=1. D=в - 4ас=9 – 4·2=1 уравнение имеет два корня, т.к D>0.х1= -½,х2=2 Ответ:х1= -½ ;х2=2. х² – 12х + 36=0, а=1, в= - 12, с=36. D=144 – 436 =0 - 2 одинаковых корня х=12±D/2, х=6 Ответ: х=6.

Для квадратных уравнении, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде: ах 2 +2кх+с=0. Найдем его дискриминант D1=4к²– 4ас=4(к² – ас) D 1 =к² –ас. Если D 1 0, то х= - к±D 1 /а, где D 1 =к² - ас, Если D

Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказательство: рассмотрим приведенное квадратное уравнение х²+вх+с=0. Обозначим второй коэффициент буквой р, свободный член буквой q. х²+рх+q=0, D=р² – 4q. Пусть D>0 => уравнение имеет два корня х1= - р - D 2, х2= - р+D / 2. Найдем сумму и произведение корней: х1+х2= - р - D р+D 2= - 2р/2= - р. х1· х2=( - р - D 2)( - р+D 2)=( - р)² - (D)² / 4=р²- (р²- 4q)/4=4q/4=q. Итак х1+х2= - р; х1· х2=q. При D=0, уравнение имеет 2 одинаковых корня х= - р±D / 2 Теорема Виета.

Пусть квадратное уравнение ах²+вх+с=0, имеет корни х 1 и х 2. Равносильное приведенное квадратное уравнение имеет вид: х²+в/а х+с/а=0, по теореме Виета => х 1 +х 2 = - в/а, а х 1 · х 2 = с/а => справедливо утверждение обратное теореме Виета. Теорема: Если m и n таковы, что их сумма = – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х²+рх+q=0 Доказательство: по условию m+n= - р, а m· n=q => уравнение х²+рх+q=0, можно записать в виде х² - (m+n)· х+m · n=0, подставим вместо х число m => m² - (m+n)· m+mn=m² - m² - mn+mn=0 => m является корнем уравнения. Пример: 3х² - 5х + 2 = 0, D = 25 – 24 = 1 => имеет два различных корня – эти же корни имеет приведенное уравнение х² ²3= 0 => х 1 + х 2 =53, х 1 · х 2 =²3. Обратная теорема.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах²+вх+с=0, где а0. 1.Если а+в+с = 0 (т.е сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а Доказательство: Разделив обе части данного уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение: х² + в/а· х + с/а=0, согласно теореме Виета => х1+ х2= - в/а х1· х2=с/а, по условию а+в+с=0, откуда в= - а – с. х1+х2= - ( - а – с)/а=1+с/а х· х=1· с/а х1=1, х2=с/а, что и требовалось доказать.

2.Если а – в + с = 0, то х1= - 1, х2= - с/а Доказательство: по теореме Виета. х1+х2= - в/а, по условию а – в + с = 0, откуда в=а+с. х1· х2=с/а, таким образом х1+х2= - а + с/а= с/а х1 · х2 = - 1· ( - с/а) =>х1= - 1, х2 = - с/а, что и требовалось доказать. Примеры: 1.Решить уравнение. 345х²+137х – 201=0, т.к. а – в + с = 0 => х1= - 1, х2= - с/а, х1= - 1, х2=201/345. Ответ: х1= - 1, х2=201/ х – 247х = 0, т.к а+в+с=0, ( =0), то х1=1, х2=115/132. Ответ:х1=1, х2=115/132

Рассмотрим квадратное уравнение ах²+вх+с = 0, где а0. Умножив обе части на а, получим уравнение а²х²+авх+ca=0, пусть ах=у, откуда х=у/а, тогда перейдем к уравнению у²+ву+ас=0, равносильное данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Отсюда окончательно получим х 1 =у 1 /а и х 2 =у 2 /а. Примечание: коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасываются» к нему. Этот способ применим когда можно легко найти корни, используя теорему Виета. Метод «переброски»

Примеры:1.Решить уравнение. 2х – 11х+15 = 0 (перебросив коэффициент 2 к свободному члену, получим уравнение ) у – 11у+ 30=0 (согласно теореме Виета) у1=5 х1=5/2 =2.5 => у2=6 х2=6/2=3 Ответ: х1=2.5; х2= х² - (3+2)х+1=0 у² – (3+2)у+32=0 по теореме Виета. у1=3 х1=3/ 32=2/2 у2=2 х = 2/ 32=1/3 Ответ: х1=2/2; х2=1/3.

Если задана функция f(х)=ах²+вх+с, то значение аргумента х, при которых функция обращается в нуль, называется корнем этой функций. Следовательно корни уравнения ах²+вх+с = 0 является корнем функции f(х)=ах²+вх+с. Пример: Решить уравнение: -х² + 4х-3=0. Решение: у = -х² + 4х – 3, х1=1, х2=3, точки пересечения графика с функцией у=-х² + 4х-3 с осью абсцисс, следовательно х1=1 и х2=3 являются решением квадратного уравнения. Ответ: 1;3. Графический способ.

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным: (х+1)²=2х+5, заменим х²+2х+1=2х Перенос слагаемых из одной части другую с заменой знака на противоположный (х²+2х) – 2х - 5+1=0, х² – 4=0. 3. Умножение или деление обеих частей равенства на одно и тоже выражение. Но нужно иметь в виду, что новое уравнение может не быть равносильным (т.е иметь одни и те же корни) предыдущему. 4. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень или извлекать из обеих частей корни одной и той же степени, выполнить проверку корней или определить ОДЗ функции. Основные приемы решения уравнений.

Биквадратное уравнение (от лат. два и quadratus квадратный), алгебраическое уравнение вида ax4 + bx² + c = 0. Его решение приводится к решению квадратного уравнения подстановкой y = x². Пример: m4 – 26m² + 25 = 0 Чтобы решить это уравнение, необходимо представить m² = x, тогда мы получаем приведенное квадратное уравнение: х² – 26х + 25 = 0 и полученное уравнение можно решить по теореме Виета: х1 · х2 = 25 m1 = 1 х1 + х2 = 26 m2 = 25 х1 = 1 m1 = ±1 х2 = 25 m2 = ±5 m² = x следовательно, Ответ: m1 = ±1; m2 = ±5 Биквадратное уравнение.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Пример 1. cos 4 +3cos 2 x–1=3 cos 4 +3cos 2 x–4=0, пусть cos 2 x=t, -1

Пример 2. sin 2 x-3sin x cos x + 2cos 2 x =0. cos 2 x0, xπ/2+πn tg 2 x-3tg x +2 =0 z = tg x, z 2 -3z+2=0, z 1 =1, z 2 =2 tg x =1, tg x = 2 x = arctg 1 + πn, т.е. x =π/4+πn x = arctg 2 +πn Ответ: x =π/4+πn; x = arctg 2 +πn, n z

Показательные уравнения, приводимые к квадратным 2 x+1 +4 x =80 Пример 1. 2 x 2+(2 2 ) x =80 2 2x x – 80=0 Пусть 2 x =y, y>0 тогда y 2 +2y-80=0 2 x = -10, нет корней т.к. y>0 y = x = 8 y = 8 2 x = 2 3, x = 3 Ответ: x = 3

Пример 2. (2 x +10)/4 = 9/ 2 x-2 (2 x +10) 2 x-2 =36 2 x-2 /2 2 + (10 2 x )/2 2 = 36 2 x x -144=0 Пусть 2 x =t, t>0 t 2 +10t – 144=0 t = 8 2 x =8 t = x =-18, нет корней т.к. t>0 2 x = 2 3, x =3 Ответ: x =3

Логарифмические уравнения, приводимые к квадратным Пусть y 2 +2y-8=0 y = -4 log 3 x = -4; x = 3 -4 x = 1/81 y =2 log 3 x = 2; x = 3 2 x = 9 Ответ: x = 1/81; x = 9 Пример 1.

Пример 2. 1/(5-lgx)+2/(1+lgx)=1 lgx - десятичный Пусть lgx=y, y R логарифм 1/(5-y)+2/(1+y)=1 y 2 -5y+6=0 y =2 lgx=2; x=10 2 x=100 y =3 lgx=3; x=10 3 x=1000 Ответ : 100; 1000

Метод Горнера Пример 1. Найти целые корни уравнения x 4 -5x-6=0 Данное уравнение может иметь в качестве целого корня только делители:6; ±1; ±2; ±3; ±6. Проверку можно произвести делением на x - и уголком или при помощи схемы Горнера – сокращенной записи деления уголком.

x 4 -5x-6 x+1 - x 4 +x 3 x 3 -x 2 +x-6, т.е. (x+1)(x 3 -x 2 +x-6)=0 -x 3 - -x 3 -x 2 x 3 -x 2 +x-6 x-2 x 2 -5x - x 3 -2x 2 x 2 +x+3 - x 2 +x x 2 +x -6x-6 - x 2 -2x - -6x-6 3x x-6 0 (x+1)(x-2)(x 2 +x+3)=0 x 2 +x+3 0, т.к. D=1-12

Закрепление материала. Задания закрепляющие полученные из проекта знания.

Литература 1.Алгебра 8 класс 2.Алгебра 9 класс 3.Г.В. Дорофеев, Л.Г.Петерсон, математика 6 кл. 4.Методический журнал Математика в школе, Газета «Математика», , ст.Н.Рощина 6.Дидактические материалы по алгебре и начала анализа 10 класс 7.Алгебра и начала анализа класс, А.Г. Мордкович 8.Алгебра и начало анализа, М.И.Башмаков