Тема урока: Следствия аксиом стереометрии Цели урока: изучить теорему о плоскости, проведенной через прямую и точку вне ее; изучить теорему о плоскости, проведенной через прямую и точку вне ее; рассмотреть доказательство теорем методом от «противного»; рассмотреть доказательство теорем методом от «противного»; применить полученные знания при решении задач с практическим содержанием. применить полученные знания при решении задач с практическим содержанием.

Аксиомы планиметрии 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы стереометрии С 1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. С 2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. С 3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, притом только одну.

Викторина 1. Изобразите на чертеже куб и обозначьте его. 2. Сформулируйте аксиому, на основе которой можно объяснить существование пространственных фигур (куба). 3. Приведите примеры пространственных фигур из окружающей действительности.

Гипотеза «Прямая и не лежащая на ней точка определяют единственную плоскость в пространстве» Требуется доказать два утверждения: 1. Существует плоскость, проходящая через прямую и не лежащую на ней точку. 2. Плоскость, проходящая через прямую и не лежащую на ней точку, единственна.

Теорема Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну. Дано: прямая а, точка В, не лежащая на прямой а. Доказать: 1. Существование плоскости α, проходящей через а и В. 2. Единственность плоскости α.

Доказательство теоремы 14.1.: 1. Существование плоскости α. 1) Выберем точку А на прямой а (аксиома 1) 2) Проведем прямую в через точки А и В (аксиома 2). 3) Проведем плоскость α через пересекающиеся прямые а и в (аксиома С-3). 4) Плоскость α – искомая. а В А b α

2. Единственность плоскости α докажем «методом от противного». 1) Пусть плоскость ά, отличная от плоскости α, проходит через точку В и прямую а. Прямая а – линия пересечения плоскостей α и ά (аксиома С-2). 2) В – общая точка плоскостей α и ά, значит, точка В принадлежит прямой а. 3) По условию точка В не принадлежит прямой а. 4) Пришли к противоречию. ά α

Задача. Докажите, что через любую прямую можно провести по крайней мере две различные плоскости. Решение. 1) Пусть дана прямая а. Возьмем точку В, не принадлежащую прямой а (аксиома 1). 2) Проведем плоскость α через прямую а и точку В (теорема 14.1). 3) Возьмем точку С, не принадлежащую плоскости α (аксиома С-1). 4) Проведем плоскость β через прямую а и точку С (теорема 14.1). 5) Плоскости α и β различны, т.к. точка С не принадлежит плоскости α. β α

Домашнее задание 6. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую. а b β α γ c