СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО)

СМО – это случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем 4 основных элемента: Входящий поток заявок; Очередь; Каналы обслуживания; Выходящий поток заявок

Типы СМО В зависимости от правил образования очереди: системы с отказами - при занятости всех каналов обслуживания заявка покидает систему необслуженной; системы с неограниченной очередью - заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы обслуживания были заняты; системы с ожиданием и ограниченной очередью -ограниченно время ожидания или длина очереди.

Потоки событий Последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени Характеризуется: Стационарностью Интенсивностью; Простейший Отсутствием последействия; поток Ординарностью.

Основные показатели Интенсивность потока (λ) - среднее число заявок, поступающих из потока за единицу времени. τ – среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками, вероятность поступления на обслуживание m заявок за промежуток времени t определяется по закону Пуассона:

Основные показатели Время между соседними заявками распределено по закону: Время обслуживания подчиняется показательному закону: где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, Отношение интенсивности входящего потока к интенсивности потока обслуживания называется загрузкой системы – среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки.

СМО с отказами Вероятность того, что обслуживанием заняты k аппаратов Вероятность простоя Вероятность отказа Относительная пропускная способность, - вероятность того, что заявка будет обслужена: Абсолютная пропускная способность– среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени. Среднее число занятых каналов

Пример На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью λ = 4 заявки в минуту. Время обслуживания заявки одним каналом мин. Найти показатели эффективности работы системы.

СМО с неограниченным ожиданием Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок): Вероятность занятости обслуживанием k каналов: Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при отсутствии очереди: Вероятность наличия очереди - вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов; Вероятность для заявки попасть в очередь -вероятность занятости всех каналов; Среднее число занятых обслуживанием каналов: Доля каналов, занятых обслуживанием: Среднее число заявок в очереди (длина очереди) Среднее число заявок в системе Среднее время ожидания заявки в очереди Среднее время пребывания заявки в системе

Пример На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью λ = 4 заявки в минуту. Среднее время обслуживания заявки ч. Найти показатели эффективности работы системы.

СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди m – длина очереди Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок): Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности того, что в очереди уже стоят m заявок; Относительная пропускная способность - величина, дополняющая вероятность отказа до 1; Абсолютная пропускная способность Среднее число занятых обслуживанием каналов Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди) Среднее время ожидания обслуживания в очереди Среднее число заявок в системе Среднее время пребывания заявки в системе

Пример В парикмахерской работают 3 мастера, в зале ожидания расположено 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность λ = 12 клиентов в час. Среднее время обслуживания заявки мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! к.т.н., доц. Калашникова Т.В.