От теоремы Пифагора-к … Автор: Санжеревская Дарья, 9 класс. МОУ СОШ пос. Новоколхозное

Цель: Установить связь между теоремой Пифагора и теоремой косинусов. Исследовать проблему:зная две стороны треугольника и угол между ними, найти третью сторону.

Разговор двух учеников: Первый ученик: Мария Ивановна задала на дом разобраться с теоремой Пифагора. Ну, что ж выучим «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Установим,что по гипотенузе и катету можно найти второй катет. Вот пожалуй и все, что с ней возиться! –Второй ученик Что в ней дано? –Даны две стороны треугольника и угол между ними. –А что нужно найти? –Третью сторону треугольника.Подожди…А если угол между двумя сторонами не прямой?Он задан, но является тупым или острым?Как тогда найти третью сторону? –Проблема!

Как найти сторону треугольника по данным двум другим сторонам и углу между ними?

Установим связь между двумя задачами.

Порассуждаем: Задача решена для случая, когда угол между данными сторонами прямой,тогда надо воспользоваться теоремой Пифагора. Остаются два случая:а). Угол между двумя сторонами острый. б). Угол между двумя сторонами тупой.

Идея: нельзя ли этот случай разрешить с помощью уже разрешенного? То есть, нужно искомую сторону треугольника «сделать» стороной прямоугольного треугольника и из этого треугольника и нужно попытаться найти искомую сторону.

Обратимся к рисунку 1: γ – острый. Рассмотрим треугольник СВD h=a ·sin γ и a 1 =a·cosγ. ΔABC - c 1 =b-a 1. c 1 =b-a· cosγ

Обратимся к рисунку 2: γ – тупой Аналогично, рассмотрим треугольник СВD: h=a ·sin (180-γ), но sin (180-γ)= sin γ, поэтому h=a ·sin γ и a 1 =a·cos(180- γ ),а cos(180-γ )=- cosγ, a 1 =- a·cosγ. ΔABC - c 1 =b+a 1 и c 1 =b-a· cosγ

Эврика! Получили один и тот же результат! c 1 =b-a· cosγ. Наконец, можно найти квадрат стороны с: c²=h²+c 1 ²=a²·sin²γ+(b-a·cos²γ)²=a²+b²- 2ba·cosγ.

Вывод: Если мы заранее знаем, что угол между сторонами прямой, то воспользуемся теоремой Пифагора, если угол тупой или острый, то квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

От теоремы Пифагора-к теореме косинусов. Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора!