Секцикция: математика Авторы: Комарова Тамара Дмитриевна СШ 203, 11 класс Ул.Гинтовта, дом 8 кв. 50 Тел Ермоленков Николай Андреевич СШ203, 11 класс Ул.Шафарнянская, дом 14 кв.185 Тел Научный руководитель: КОВАЛЕВИЧ Тамара Вадимовна СШ203 Учитель математики Минск, 2008 Секцикция: математика Авторы: Комарова Тамара Дмитриевна СШ 203, 11 класс Ул.Гинтовта, дом 8 кв. 50 Тел Ермоленков Николай Андреевич СШ203, 11 класс Ул.Шафарнянская, дом 14 кв.185 Тел Научный руководитель: КОВАЛЕВИЧ Тамара Вадимовна СШ203 Учитель математики Минск, 2008 Управление образования администрации Первомайского района г.Минска

1)Введение Введение 2)Основная часть: Основная частьОсновная часть А) Историческая сводка А) Историческая сводка Б) Декартова система координат Б) Декартова система координат В) Примеры В) Примеры Г) Полярная и сферическая системы координат Г) Полярная и сферическая системы координат 3) Выводы Выводы 4) Литература Литература

Введение: Цели и задачи работы: Образовательные: ввести понятие систем координат, выработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображённой в заданной системе координат, узнать области их применения; Развивающие: способствовать развитию пространственного воображения; способствовать выработки задач и развитию логического, научного мышления учащихся. Воспитательные: воспитание учебно- познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения и диалога.

Основная часть: Криволинейные системы координат. Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат. Основная часть: Криволинейные системы координат. Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.

Так, в своей деятельности географы предпочитают использовать полярную систему координат. Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов, получило решения, состоящие в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.

Историческая сводка. Рене Декарт

Рене Декарт (латинизированное имя Картезий) ( ) - французский философ, физик, математик и физиолог. Родился в местечке Лаэ. Окончил иезуитскую коллегию Ла- Флеш (Анжу), был некоторое время военным, путешествовал. В годах жил в Голландии, в 1649 году переехал в Стокгольм, где и умер. В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»). В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.

Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся в канонической форме (в правой части нуль). Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере». Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.

В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой с помощью уравнения был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его. Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует. Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего английскими, для которых геометрические построения чисто вспомогательный приём.

Декартова прямоугольная система координат (на плоскости). Системой координат на плоскости называется совокупность двух пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат. Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной ). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной ( декартовой ) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y и называются, соответственно, абсциссой, ординатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Координаты точки в декартовой системе координат. Важно отметить, что порядок записи координат существенен; так, например, точки A (– 3; 2) и B (2; –3) – это две совершенно различные точки. Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые, перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых с осями абсцисс, ординат до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2)

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту. В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

Декартова прямоугольная система координат (в трёхмерном пространстве) Проведём через точку пространства О 3 попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выберем направление (оно обозначается стрелкой) и зададим единицу измерения отрезков. Говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются Ох, Оу, Оz. Вся система координат обозначается Оxyz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оyz, Ozх. Декартова прямоугольная система координат (в трёхмерном пространстве) Проведём через точку пространства О 3 попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выберем направление (оно обозначается стрелкой) и зададим единицу измерения отрезков. Говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются Ох, Оу, Оz. Вся система координат обозначается Оxyz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оyz, Ozх. z O x Oy – ось ординат Ox – ось абсцисс y

Точка О разделяет каждую из осей коорди­нат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полу­осью, а другой луч - отрицательной полуосью. В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая системы координат x O z y y x z O

(знакомство с названиями «правая и левая» система координат)

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определя­ются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендику­лярные к осям координат, и обозначим через М1. М2 и М3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х=ОМ1. если М1 - точка положительной полуоси; х=-ОМ1, если М1 - точка отрицательной полуоси; х=О, если M1 совпадает с точкой о. Аналогично с помощью точки М2 определяется вторая координата (ордината) у точки М, а с помощью точки М3 - третья координата (аппликата) Z точки М. Координаты точки М записы­ваются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z).

Точка лежит На осиВ координатной плоскости Ох(х;0;0)Оу(0;у;0)Оz(0;0;z)Oxy(x;y;0)Oyz(0;y;z)Oxz(x;0;z) Вывод: если Все три координаты начало координат равны нулю: О(о;о;о).

Примеры: Системы координат в пространстве: декартовы, цилиндрические и сферические координаты. Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM ( радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

Поверхностью 2–го порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0где A2 + B2 + C2 0.

Проведем через точку O перпендикулярно вектору n плоскость P и обозначим проекцию точки M на эту плоскость M'. В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ, j и z, где ρ и j полярные координаты точки M', а z проекция вектора OM на вектор n. Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l с положительной частью оси абсцисс, а вектор n с положительной частью оси аппликат (рис. 3).

М 1 (2;-3п/4) М 1 (2;п/4) М 2 (3;п/3) М 2 (3;-2п/3) М 1 (2;-п/4) М 2 (3;-п/3) Дано: 1)М 1 (2;п/4) 2)М 2 (3;п/3) Построить: А) М 1; М 2 относительно полюса Б) М 1 ; М 2 относительно полярной оси 0 3п/2 п/2 п О

О О 3п/2 0 п/2 п В(2;3п/4) А(2;п/3) А(1; 3) В(-1;1) О Дано: Полярные координаты точек А(2;п/3);В(2;3п/4) Определить: Прямоугольные декартовые координаты точек Решение: х= ρ cosφ y= ρ sin φ A: x=2*cos(n/3)= 2* 1/2= 1; Y=2*sin(n/3)= 2* 3/2= 3; 2) B: x= 2*cos(3n/4)= 2*(- 2/2)=-1 Y= 2*sin(3n/4)= 2*(2/2)=1

Полярная и сферическая системы координат Для определения координат в декартовой системе координат используются координатные оси. Однако в ряде случаев удобно в качестве координат использовать не метрические величины, а величины других размерностей, например, углы. Модель. Воздушная атака.

Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата ρ – расстояние от точки до полюса, координата φ – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае. Важно понимать, что число φ в полярной системе определено не однозначно: парам чисел (ρ; φ + 2πn) соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.

Полярные координаты легко преобразовать в декартовы. Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, (ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно, что Формулы обратного перехода: Полярная система координат.

Полярную систему можно обобщить на трехмерный случай: для этого придется ввести третью координату – угол θ. Углы φ и θ примерно соответствуют земным долготе и широте (угол θ также отсчитывается от «экватора»), а координата ρ определяет расстояние от исследуемой точки до полюса. Подобная система координат носит название сферической. Сферическими координатами точки в трехмерном пространстве являются: ρ – расстояние от точки до полюса, φ – угол между полярной осью и проекцией радиус-вектора точки на выбранную экваториальную плоскость (содержащую полярную ось), θ – угол между радиус-вектором точки и его проекцией на экваториальную плоскость.

Сферическая система Система координат, состоящая из полюса, экваториальной плоскости и полярной оси, лежащей в ней, называется сферической

Выводы Мы вывели понятие систем координат, выработали умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображённой в заданной системе координат, узнали области их применения; Мы узнали кто такой Декарт и почему системы координат названы в его честь. На практике применили свои знания по построению точек в плоскости.

Литература Геометрия, 10-11: учебное пособие для общеобразовательных учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и д.р. -12 изд.-М.: Просвещение, 2003.С Глейзер Г.И. История математики в школе. М., С Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. средней школы- 3 изд. – М.: Просвещение, С Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М., Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин.-М.: Педагогика, С