«ФИШКА» Разбор задания С3 ЕГЭ

Условие: Задача С3. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (5,2). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех точек: или в точку с координатами (x+3,y), или в точку с координатами (x,y+3) или в точку с координатами (x,y+4). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0,0) не меньше 13 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте Решение:

Критерии оценки: Указания по оцениванию: пункт балла - Правильное указание выигрывающего игрока и его ходов со строгим доказательством правильности (с помощью или без помощи дерева игры)

Критерии оценки: пункт 2: 2 балла - правильное указание выигрывающего игрока, стратегии игры, приводящей к победе, но при отсутствии доказательства ее правильности.

Критерии оценки: пункт 3: 1 балл - При наличии в представленном решении одного из пунктов: часть 1. Правильно указан выигрывающий игрок, и его первый ход, рассмотрены все возможные ответы второго игрока, но неверно определены дальнейшие действия часть 2. Правильно указан выигрывающий игрок и его первый ход, но описание выигрышной стратегии неполно и рассмотрены несколько (больше одного, но не все) вариантов ответов второго игрока.

Критерии оценки: пункт 4 0 баллов - Задание не выполнено или в представленном решении полностью отсутсвует описание элементов выигрышной стратегии, и отсутствует анализ вариантов первого - второго ходов играющих (даже при наличии правильного указания выигрывающего игрока)

Табличный способ решения: Этот способ наиболее трудоёмкий, но самый надёжный. Нам предстоит построить, а затем и заполнить не совсем простую таблицу, ее еще называют - "дерево игры". Проведём предварительный анализ и ответим на два вопроса: 1.Сколько строк и столбцов будет в таблице?

Определим количество столбцов Для того, чтобы определить количество столбцов воспользуемся подсказкой В критериях оценки этого задания есть следующий пункт: ставиться ноль баллов, если отсутствует анализ первого и второго ходов играющих. Т.к. играющих два, то столбцов – четыре.

Определим количество строк: 1. Первый игрок имеет право на три различных хода (из условия), значит ему отведём – три строки. 2.Второй может ответить на каждый ход первого так же тремя ходами. Итого: 3*3 =9 строк (вариантов) 3. Первый может ответить тремя вариантами на каждый из девяти ходов второго. 9*3 =27 строк 4. Сколько ответных ходов может сделать второй игрок? Правильно : 81

Построение таблицы Такую большую таблицу рисовать необязательно. Можно «схитрить». Итак, лучше начать рисовать таблицу справа налево. Для этого очерчиваем прямоугольник в 27 строк. Затем слева к нему пристраиваем столбец, объединяя каждые три строки предыдущего столбца в один. Снова отступ влево и повторяем предыдущую процедуру. Почему же не 81 строка?

Вот так!))) Вся хитрость в том, что на каждую серию ответов первого игрока нам достаточно будет указать один выигрышный ход.

Начало игры 1 игрок2 игрок1 игрок 1 вариант хода 1 игрока 1 серия ответов 1 игрока 2 серия ответов 1 игрока 3 серия ответов 1 игрока 2 вариант хода 1 игрока 4 серия ответов 1 игрока 5 серия ответов 1 игрока 6 серия ответов 1 игрока 3 вариант хода 1 игрока 7 серия ответов 1 игрока 8 серия ответов 1 игрока 9 серия ответов 1 игрока

Как будем определять победителя? Из рисунка видно, что нам нужно определить длину вектора S, которая зависит от изменения координат фишки игроком. Как найти длину вектора S? Длину вектора S можно рассчитать по теореме Пифагора:

Вспомним условие: По условию задачи выигрывает тот, кто первым удалится от начала координат на 13 или больше единиц. Предположим первый игрок перешел в точку с координатами (8;2), проверим этот ход на победу с помощью теоремы Пифагора Значит до победы первому игроку далеко.

Важно! Чтобы не запутаться при заполнении таблицы, необходимо соблюдать следующие правила: 1. Первый ход всегда по оси X 2. Второй ход по оси Y на минимальное удаление 3. Третий ход по оси Y на максимальное удаление Можно приступить к заполнению таблицы. В первый столбец поставим начальную координаты фишки (5;2). В верхнюю строку первого хода первого игрока, согласно условию, внесем координаты (8;2).

Заполнение таблиц Выполните таблицу, о которой говорилось ранее, у себя в тетради и заполните всевозможные первые ходы первого игрока.

Способ оформления, приведённый ниже, не даст возможности получить максимум баллов!

Вернемся к критериям оценки: Вспомним пункт 3, часть 1 где говорится:...если правильно указан выигрывающий игрок и его первый ход, но описание выигрышной стратегии неполно и рассмотрены несколько (больше одного, но не все) вариантов ответов второго игрока - 1 балл.

Вернемся к критериям оценки: Невооруженным глазом видно, что второй игрок после хода первого может поставить фишку в точки с координатами: (11,2), (8,5), (8,6), (5,8), (5,9),(5,10) из которых в таблице рассмотрены только (8,5) и (8,6), т.е. по такому оформлению невозможно строго доказать, к чему приводит ход (5,10) - к победе либо наоборот к поражению, если его не рассматривать?

Вернемся к критериям оценки: не успокаивайте себя, что 1 балл - тоже хорошо, поскольку пунк 4 гласит:...если отсутствует анализ вариантов первого - второго ходов играющих (даже при наличии правильного указания выигрывающего игрока) - 0 баллов, а теперь скажите, сколько возможных вариантов хода есть у второго игрока, после того как сходит первый - девять, а в ответе рассмотрено сколько - 4. О чем это говорит? Это говорит о том, что отсутствует анализ целых пяти вариантов из возможных. Следовательно, если вы даже укажете, что победит второй вам могут поставить за него 0 баллов!!!

Вернемся к критериям оценки: Иными словами, приведенная выше таблица содержит все возможные варианты только первого хода и только первого игрока, но не рассматривает и половину из тех, которые может сделать второй на первом ходу, а про второй ход обоих игроков даже и говорить не приходится…

Ещё один пример задачи С3 Задача « Камушки». Два игрока играют в игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 3, а во второй – 2 камня. У каждого игрока неограниченное число камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то кучке, или добавляет 1 камень в какую-то кучку. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучках становится не менее 16. Кто выигрывает при правильной игре – игрок, делающий первый ход, или игрок делающий второй ход. Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Х 3, +1, >=16 Старт 3,2 Х3Х3 +1 9,2 3,6 4,2 3,3 1ход, 1игр.2ход, 2 игр. Х3Х ,2 Выигрыш 2го игрока Х3Х3 +1 9,6 3,18 Выигрыш 2го игрока 12,3 4,6 5,2 4,3 9,3 3,9 4,3 3,4 3ход, 1 игр. Выигрыш 1го игрока 12,3 4,9 5,3 4,4 Выигрыш 2го игрока в люб.случа е Выигрыш 1го игрока 12,3 4,9 5,3 4,4 Выигрыш 2го игрока в люб.случа е

Ответ: Выиграет второй игрок при ЛЮБОМ ходе первого. Обоснование: Своим первым шагом ему необходимо сделать в одной кучке 4 камня, а в другой 3 камня.