Циклоида 1 Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся по прямой, называется циклоидой, что в переводе с греческого языка означает кругообразная. Циклоиду, например, описывает точка, закрепленная на ободе колеса велосипеда, катящегося по ровной дороге.

Циклоида 2 Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564 – 1642). Он же придумал и ее название.

Циклоида 3 Окружность прокатилась по отрезку AB, сделав полный оборот. Точки, A 1, …, A 8 делят отрезок AB на 8 равных частей. Где будет находится отмеченная точка A, когда окружность, катящаяся по прямой, достигнет точки: а) A 4 ; б) A 2 ; в) A 6 ; г) A 1 ; д) A 3 ; е) A 5 ; ж) A 7 ? (Для указания положения точки используйте направления: восток, запад, север, юг и т.д.) Ответ: а) север;б) запад;в) восток;г) юго-запад;д) северо-запад; е) северо-восток;ж) юго-восток.

Циклоида 4 Соединяя плавной кривой построенные точки, получим циклоиду. Циклоида в движении (в режиме слайдов)

Свойство 1 Ледяная гора. В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки (рис. а), чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время. Искомую кривую назвали "брахистохроной", т.е. кривой кратчайшего времени. Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г.Лейбниц, И.Ньютон, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида (рис. б).

Свойство 2 Часы с маятником. Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды. Голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида (рис. 1, 2). За это свойство циклоиду называют также "таутохрона" – кривая равных времен. Если, например, в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб (рис. 1) и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и от амплитуды.

Упражнение 1 Имеет ли циклоида: а) оси симметрии; б) центр симметрии? Ответ: а) Да;б) нет.

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно см, вырезанная из плотного картона, и круг радиуса 2 см, вырезанный из плотного картона, на краю которого вырезан небольшой уголок, в который можно поставить острие карандаша. Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем круг так, чтобы вырезанный уголок находился на краю полоски. Катим круг по краю полоски и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя плавной кривой отмеченные точки, получаем циклоиду.

Удлиненная циклоида Кривая, которую описывает точка, закрепленная на продолжении радиуса окружности, катящейся по прямой, называется удлиненной циклоидой. Пусть точка закреплена на продолжении радиуса окружности, находящейся в положении A 0. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) B; б) A 4 ; в) A 2 ; г) A 6 ; д) A 1 ; е) A 3 ; ж) A 5 ; з) A 7. Соедините полученные точки плавной кривой. Удлиненная циклоида в движении (в режиме слайдов)

Укороченная циклоида Кривая, которую описывает точка, закрепленная на радиусе внутри окружности, катящейся по прямой, называется укороченной циклоидой. Пусть точка закреплена на радиусе окружности, находящейся в положении A 0. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность, достигнет точки: а) B; б) A 4 ; в) A 2 ; г) A 6 ; д) A 1 ; е) A 3 ; ж) A 5 ; з) A 7. Соедините полученные точки плавной кривой. Укороченная циклоида в движении (в режиме слайдов)

Упражнение 2 Нарисуйте траекторию движения вершины правильного треугольника, катящегося по прямой.

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно см, вырезанная из плотного картона, и правильный треугольник со стороной примерно 4 см, вырезанный из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок. Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем треугольник на краю полоски. Поворачиваем треугольник и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Упражнение 3 Нарисуйте траекторию движения вершины квадрата, катящегося по прямой.

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно см, вырезанная из плотного картона, и квадрат со стороной 4 см, вырезанный из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок. Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем квадрат на краю полоски. Поворачиваем квадрат и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Упражнение 4 Нарисуйте траекторию движения вершины правильного шестиугольника, катящегося по прямой.

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно см, вырезанная из плотного картона, и правильный шестиугольник со стороной 2 см, вырезанный из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок. Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем шестиугольник на краю полоски. Поворачиваем шестиугольник и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Кардиоида 1 Траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся с внешней стороны по другой окружности того же радиуса, называется кардиоидой. Ответ: а) Запад; б) восток; в) восток;г) юг;д) север; е) юг;ж) север. Для изображения кардиоиды разделим окружность на 8 равных частей точками А 1,..., А 7. Выясните, где будет находиться отмеченная точка A, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A 4 ; б) A 2 ; в) A 6 ; г) A 1 ; д) A 3 ; е) A 5 ; ж) A 7.

Кардиоида 2 Соединяя плавной кривой построенные точки, получим кардиоиду. Кардиоида в движении (в режиме слайдов)

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуются два круга одинаковых радиусов примерно по 3 см, вырезанные из плотного картона, на краю одного из которых вырезан небольшой уголок. Приклеиваем целый круг к листу бумаги. Устанавливаем круг с вырезанным уголком так, чтобы чтобы вырезанный уголок касался закрепленного круга. Катим круг с вырезанным уголком по закрепленному кругу и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя отмеченные точки плавной кривой, получаем искомую траекторию.

Упражнение 5 Имеет ли кардиоида: а) оси симметрии; б) центр симметрии? Ответ: а) Да;б) нет.

Упражнение 6 Нарисуйте траекторию движения вершины правильного треугольника, катящегося с внешней стороны по другому правильному треугольнику.

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуется два правильных треугольника со стороной примерно 4 см, вырезанные из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок. Приклеиваем целый треугольник к листу бумаги. Устанавливаем треугольник с вырезанным уголком так, чтобы чтобы сторона с вырезанным уголком треугольника касалась стороны закрепленного треугольника. Поворачиваем треугольник с вырезанным уголком вокруг закрепленного треугольника и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Упражнение 7 Нарисуйте траекторию движения вершины квадрата, катящегося с внешней стороны по другому квадрату.

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуется два квадрата со стороной примерно 4 см, вырезанные из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок. Приклеиваем целый квадрат к листу бумаги. Устанавливаем квадрат с вырезанным уголком так, чтобы чтобы сторона с вырезанным уголком касалась стороны закрепленного квадрата. Поворачиваем квадрат с вырезанным уголком вокруг закрепленного квадрата и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Упражнение 8 Нарисуйте траекторию движения вершины правильного шестиугольника, катящегося с внешней стороны по другому правильному шестиугольнику.

Лабораторная работа Для проведения лабораторной работы потребуется два правильных шестиугольника со стороной примерно 2 см, вырезанные из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок. Приклеиваем целый шестиугольник к листу бумаги. Устанавливаем шестиугольник с вырезанным уголком так, чтобы чтобы сторона с вырезанным уголком касалась стороны закрепленного шестиугольника. Поворачиваем шестиугольник с вырезанным уголком вокруг закрепленного шестиугольника и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Удлиненная кардиоида Траектория движения точки, закрепленной на продолжении радиуса окружности, катящейся по другой окружности того же радиуса, называется удлиненной кардиоидой. Пусть точка закреплена на продолжении радиуса окружности, находящейся в положении A. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A 4 ; б) A 2 ; в) A 6 ; г) A 1 ; д) A 3 ; е) A 5 ; ж) A 7. Соедините полученные точки плавной кривой. Удлиненная кардиоида в движении (в режиме слайдов)

Укороченная кардиоида Траектория движения точки, закрепленной на радиусе внутри окружности, катящейся по другой окружности того же радиуса, называется укороченной кардиоидой. Пусть точка закреплена на радиусе окружности, находящейся в положении A. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A 4 ; б) A 2 ; в) A 6 ; г) A 1 ; д) A 3 ; е) A 5 ; ж) A 7. Соедините полученные точки плавной кривой. Укороченная кардиоида в движении (в режиме слайдов)

Упражнение 9 Изобразите траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности, в 3 раза большего радиуса. (Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 3 раза меньше длины большой окружности.)

Упражнение 10 Изобразите траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности, в 2,5 раза большего радиуса. (Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 2,5 раза меньше длины большой окружности.)

Астроида Траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся внутри другой окружности в 4 раза большего радиуса, называется астроидой. Для изображения астроиды разделим окружность на 8 равных частей точками А 1,..., А 7. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A 4 ; б) A 2 ; в) A 6 ; г) A 1 ; д) A 3 ; е) A 5 ; ж) A 7. (Для указания положения точки используйте направления: восток, запад, север, юг, северо-восток, северо-запад, юго-восток, юго-запад. Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 4 раза меньше длины большой окружности.) Астроида в движении (в режиме слайдов)

Упражнение 11 Имеет ли астроида: а) оси симметрии; б) центр симметрии? Ответ: а) Да;б) да.

Упражнение 12 Нарисуйте траекторию движения вершины квадрата со стороной 1, катящегося с внутренней стороны по другому квадрату со стороной 4.

Удлиненная астроида Траектория движения точки, закрепленной на продолжении радиуса окружности, катящейся внутри другой окружности в 4 раза большего радиуса, называется удлиненной астроидой. Нарисуйте эту кривую. Удлиненная астроида (в режиме слайдов)

Кривая Штейнера Траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся внутри другой окружности в 3 раза большего радиуса, называется кривой Штейнера. Нарисуйте эту кривую. Кривая Штейнера (в режиме слайдов)

Удлиненная кривая Штейнера Траектория движения точки, закрепленной на продолжении радиуса окружности, катящейся внутри другой окружности в 3 раза большего радиуса, называется удлиненной кривой Штейнера. Нарисуйте эту кривую. Удлиненная кривая Штейнера (в режиме слайдов)

Упражнение 13 Нарисуйте кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся с внутренней стороны по другой окружности в 2,5 раза большего радиуса. Кривая в движении (в режиме слайдов)

Упражнение 14 Нарисуйте кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся с внешней стороны по другой окружности, в 1,5 раза большего радиуса. Кривая в движении (в режиме слайдов)

Упражнение 15 Нарисуйте траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся с внешней стороны по другой окружности, в 2,5 раза большего радиуса. Кривая в движении (в режиме слайдов)