Применение производной в физике и технике

Механический смысл производной Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением s=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную s=f (t) и подставить в неё соответствующее значение t.

Механический смысл второй производной Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Примеры применения производной С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Рассмотрим некоторые из них.

1)Мощность есть производная работы по времени N = A (t) 2)Пусть дан неоднородный стержень длиной l и массой m( l ), начало которого в точке l = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине l есть линейная плотность стержня в данной точке: ρ(l) = m ( l ) 3) Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре: C(t) = Q (t) 4) Сила тока есть производная заряда по времени: I = q (t)

Решение задач 1. Точка движется по закону а) выведите формулу для вычисления скорости движения точки в любой момент времени t ( t > 0); б) найдите скорость в в момент t = 2c; в) через сколько секунд после начала движения точка остановится? Решение: а) v(t) = - t t + 5. б) v(2) = = = 9(м/с). в) v(t) = 0, - t t + 5 = 0, t 1 = -1, t 2 = 5, -1 < 0, не удовлетворяет условию задачи. Точка остановится через 5 секунд после начала движения.

Решение задач 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v 0 движется по закону, где h – путь в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если, g = 10м/с2. Решение: =125. Ответ: 125 м.

Решение задач 3. В тонком неоднородном стержне, имеющем длину 25 см, масса (в граммах) распределяется по закону, где l – расстояние в сантиметрах от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня. Решение: ρ(l) = m (l) ρ (l ) = 8 l – 2, ρ (4 ) = 32 – 2 = 30 Ответ: 30 г\см3

Решение задач 4. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от С до температуры (по Цельсию), известно, что в диапазоне от до, формула дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. Решение:

Решение задач 5. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю? Решение: I(t) = q (t),, Отсюда, t = 2 или t = -2; t = -2 не подходит по условию задачи. Ответ: t = 2.

Спасибо за внимание!