Опр. 1 Функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется некоторое определенное число y. Для того чтобы задать функцию, нужно указать: 1. множество значений переменной х. Это множество обозначают буквой D и называют областью определения функции. Переменную х называют аргументом. Опр. 2 Область определения функции у – это множество значений аргумента, при которых функция задана, определена. Обозначают D(у). 2. правило (формулу), по которому каждому значению х из области D сопоставляется значение переменной y, которое определяется числом х. Число у называется значением функции в точке х и обозначается у(х). Опр. 3 Область значений функции у - это множество всех чисел у(х), где х принадлежит области определения функции у. Обозначают Е(у).

Способы задания функции: 1. с помощью формулы: явное задание функции формулой: у = kх; y = ax 2 ; неявное задание функции формулой: xy = 3 x 2 + y = 1 y = 1 – x 2 и др. 2.с помощью таблицы; 3. с помощью графика х у

Свойства функции Опр. 4 Выявление основных свойств, которые позволяют наглядно судить о поведении функции, называют исследованием функции. Схема исследования функции: 1. Область определения функции. 2. Множество значений функции. 3. Нули (корни) функции. 4. Промежутки знакопостоянства. 5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции. 6. Точки экстремума функции. 7. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Словесное и графическое описание функции 1. Область определения функции – это множество значений аргумента, при которых функция определена, задана. Геометрически – это проекция графика функции на ось х. D(f) = [a;b]

2. Область значений функции – это множество чисел, состоящее их всех значений функции. Геометрически – это проекция графика функции на ось у. E(f) = [m;M]

3. Нули (корни) функции – это точки, в которых функция обращается в нуль. Эти точки являются решениями уравнения f(x)=0. Геометрически – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью х. Множество корней: {x 1 ; x 2 ; x 3 }

4. Промежутки постоянного знака – это множества решений неравенств f(x) >0 и f(x)

5. Промежутки монотонности – это промежутки оси х, на которых функция возрастает (промежутки возрастания) или убывает (промежутки убывания). Геометрически – это интервалы оси х, где график функции идет вверх или вниз. Примечание: промежутки монотонности целиком входят в область определения функции.

6. Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках. Геометрически – около точек экстремума график функции выгибается, как горб, направленный вверх или вниз. Обычно точки экстремума разделяют промежутки монотонности. Примечание: точки экстремума должны лежать внутри области определения функции, чтобы можно было сравнивать значения функции слева и справа от нее.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции – это такие значения функции, которые не меньше (или не больше) значений этой функции в других точках. Геометрически – это ординаты самой высокой и самой низкой точек графика. Примечание: точки наибольшего и наименьшего значения функции могут находиться где угодно. Наибольшее (наименьшее) значение функции – это точка оси у.

Задачи взяты из сборника заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. Авторы: Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.А.

В – 1(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) при каких значениях х f(x)=0; г) наибольшее и наименьшее значения функции; д) при каких значениях х -4 < f(x) < 2.

В – 2(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) нули функции; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) наибольшее и наименьшее значения функции; д) при каких значениях х f(x)

В – 10(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) нули функции; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) наибольшее и наименьшее значения функции; д) в каких точках графика касательные к нему параллельны оси абсцисс.

В – 28(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f(x) >1; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) в каких точках графика касательная к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

В – 37(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f(x) 0,5; в) точки экстремума функции; г) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

В – 58(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f(x) > 0; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

В – 79(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f(x) 1 ; в) промежутки возрас- тания и промежутки убывания функции; г) точки, касательные в которых параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

В – 93(4) Функция y=f(x) задана своим графиком. Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f(x) -2; в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) координаты точек, в которых касательные к графику параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.