ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-6

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид: или 7. Основные понятия. Простейшее ДУ n-го порядка. (*)

Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида где f(x)- заданная функция. Решается уравнение посредством n последовательных интегрирований. Так как при каждом интегрировании вводится своя произвольная постоянная, то искомое решение ДУ будет зависеть от n произвольных постоянных.

Пример 1. Решить ДУ: Решение:

С2С2 С1С1 Ответ. Решение ДУ:

Общим решением ДУ n-го порядка (*) называется функция, которая при любом наборе произвольных постоянных С 1, С 2,…, С n обращает это уравнение (*) в тождество. Общее решение ДУ должно содержать столько произвольных постоянных, каков порядок этого уравнения.

Частным решением ДУ n-го порядка (*) называется функция, которая получается при подстановке некоторого набора произвольных постоянных С 1, С 2,…,С n в общее решение этого уравнения.

Задача Коши (Cauchy) для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (*), удовлетворяющее начальным условиям …………

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция и её частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами,то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Пример 2. Решить задачу Коши: Решение: Найдем С 1. Для этого возьмем Тогда

Найдем С 2. Для этого возьмем Тогда

Найдем С 3. Для этого возьмем Тогда частное решение

Пример 3. Решить задачу Коши: Решение: Найдем С 1. Для этого возьмем Тогда Сначала приведем к виду

Найдем С 2. Для этого возьмем Тогда

Найдем С 3. Для этого возьмем Тогда - частное решение или

Пример 4. Найти общее решение ДУ: Решение: - общее решение

8. Дифференциальные уравнения II порядка Это уравнения, содержащие производные или дифференциалы II порядка. или Общий вид:

Общим решением ДУ II порядка называется функция, которая зависит от двух произвольных постоянных С 1 и С 2. или(неявный вид)

Частным решением ДУ II порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных С 1 и С 2. Задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям где- некоторые числа, называется задачей Коши.

График всякого решения ДУ II порядка называется интегральной кривой. Геометрически: Общее решение ДУ II порядка представляет собой множество интегральных кривых, зависящих от двух произвольных постоянных С 1 и С 2.

Частное решение ДУ II порядка- одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (х 0, у 0 ) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом

Пример 5. Решить задачу Коши: Решение: Сначала приведем к виду общее решение (1) (2)

Найдем частное решение: Тогда частное решение ДУ: Подставим начальные условия в (1) и (2): (1) (2)

общее решение частное решение ДУ: