Найдем вероятность попадания в интервал (x, x + x): P(x X x + x)=F(x + x) - F(x) F(x). § 6. Непрерывная случайная величина. Функция плотности. Пусть X непрерывная случайная величина функция распределения F(x) – непрерывная функция. И перейдем к пределу при x 0, то получим производную от функции распределения, которую обозначим через f(x): x+ x x F(x) F(x+ x) Если обе части равенства разделим на x:

Определение 6.1 Предел отношения вероятности попадания значения непрерывной случайной величины Х в интервал (x, x + x) равной F(x) к длине этого интервала x, при x 0, называют функцией плотности распределения случайной величины Х и обозначают f(x). График функции плотности в случае нормального распределения: f(x) P(x) – функция плотности характеризует вероятность попадания значения сл.в. в некоторую окрестность точки х.

Функция плотности: Свойства функции плотности: 1. f ´(x) = F(x). Доказательство: свойство говорит, что функция плотности является производной от функции распределения и прямо следует из определения функции плотности. 2. f (x) 0, x R. Доказательство: свойство говорит, что функция плотности всегда неотрицательна, так как определена как предел отношения неотрицательных величин:

4. 3. Доказательство: свойство говорит, что функцию распределения можем найти как интеграл от функции плотности. Вычислимучитывая, что Док-во: свойство говорит, что вероятность попадания в отрезок можно найти проинтегрировав функцию плотности в пределах этого отрезка. Применим предыдущее свойство и свойство функции распределения: ab

5. Доказательство: свойство говорит, что вся площадь между графиком функции плотности и осью x равна 1. По предыдущему свойству и свойствам функции распределения:

Пример. Равномерное распределение на отрезке [a, b]. Оьозначим: X ~ U(a, b). Здесь обозначение U происходит от английского uniform (равномерное). Определение 6.2 Говорят, что сл.в. X имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если его функция плотности имеет вид: График функции плотности равномерного распределения:

Т.о., если X ~ U(a, b), то его функция распределения имеет вид: графически: Найдем фунцию распределения равномерного распределения: