Метод прямых в одной задачиреакция-диффузия Студентка: Фролова Ксения Владимировна Группа 1205 Руководитель: Горелов Георгий Николаевич МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. Королева САМАРА 2008

Цель данной работы разработка алгоритма для нахождения методом прямых разработка алгоритма для нахождения методом прямых решения дифференциальных уравнений в частных решения дифференциальных уравнений в частных производных; производных; написание вычислительной программы на языке Fortran, написание вычислительной программы на языке Fortran, реализующий данный метод; реализующий данный метод; проведение тестовых расчетов, показывающих проведение тестовых расчетов, показывающих эффективность и точность разработанного алгоритма. эффективность и точность разработанного алгоритма.

Метод прямых с конечно- разностной аппроксимацией Для дискретизации по пространственной переменной можно использовать конечно-разностные аппроксимации. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности (1)

Разобьем интервал узлами с шагом h. Вдоль прямых точное решение задачи – это функция только от t: По формуле численного дифференцирования для внутренних линий,, получаем с начальным условием (2) (3) (4)

Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет трехдиагональную матрицу А правых частей Найдем собственные значения матрицы А; Отсюда следует, что: Отсюда следует, что : (5)

Аналитическое решение задачи (3), (4) имеет вид где матрица Т имеет своими столбцами собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям. Элементы матрицы Т равны Прямой подстановкой можно убедиться в справедливости формул для (6)

Пример 1 Решается линейное нормализованное уравнение диффузии с начальными значениями Граничное условие нулевого потока при x=1 Граничное значение ступенчато изменяется от до Время интегрирования (7)

Результаты Рис.1 График зависимости скорости диффузии u от времени и координаты

Пример 2 Решается уравнение нелинейной диффузии с конвекцией и изменяющимися коэффициентами. (8)

Результаты Рис.2 Зависимость u(x) при t=1

Пример 3 Решается линейное нормализованное уравнение диффузии начальные данные равны На границах поток равен нулю для Начальные данные совместимы с этими граничными условиями, поскольку функция производной равна нулю при x=0 и x=1. (9)

Результат Рис.3 Зависимость функции u от номера узла по x

Заключение показано эффективность метода прямых в решении показано эффективность метода прямых в решении уравнений в частных производных типа конвекции и уравнений в частных производных типа конвекции и диффузии диффузии разработанная программа позволяет решать задачи разработанная программа позволяет решать задачи подобного рода подобного рода