Исследовательская работа по построению графиков функции Выполнила: Мухаметдинова Динара ученица 7 класса Кучуковской средней общеобразовательной школы Агрызского муниципального района РТ Научный руководитель: Бурганиева А. Р., учитель математики высшей категории

Цель и задачи работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции. Объект исследования: функции, у =f(x)+а, y= f(x+a), у = | f (х)| Предмет исследования: закономерность графиков функции у = f (х) и у = | f (х)|, у =f(x)+а, y=f(x+a) Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

Содержание 1. Историческая справка 2. График функции у =f(x)+а 3. График функции y=f(x+a) 4. График функции у=|f|(х) | 5. Выводы. 6. Список литературы.

В первой половине XVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма( ) и Рене Декарт ( ) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон( ) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

Термин "функция" (от латинского function – исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц( ). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли( ) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер( ) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

Исследование графиков функции: 1. График функции у =f(x)+а 2. График функции y=f(x+a) 3. График функции у=| f (х) | 1.Анализ изученной литературы, построение графиков функции 2.Выдвижение гипотезы 3.Проверка гипотезы 4.Доказательство 5.Выводы

Исследование графика функции у = f(x)+а

Построим графики функции у= |х| и у= |х| +1 Для построения графика применяем определение модуля. Раскрываем знак модуля, и построим графики функции. 1) х> 0, у = х+1 2) х0, у = -х+1 у= |х| +1

Из сопоставления двух графиков: у =|х| и у= |х| +1, выдвигала гипотезу, что второй получается из первого сдвигом вдоль оси ОУ на 1 единицу.

Выдвижение гипотезы: Второй график получается из первого сдвигом вдоль оси ОУ на 1 единицу.

Проверка гипотезы. Для этого составим таблицу значений функций у= |х| +1 и сравним её с такой же таблицей, составленной для у =|х|, выписав эти таблицы рядом. Х У Х У Ясно, что из каждой точки первого графика у =|х| можно получить точку второго графика у= |х| +1, увеличив у на единицу, например, точка (-2, 2) графика у =|х| переходит в точку на 1 выше первой. Значит, чтобы получить точки второго графика, нужно каждую точку первого графика сдвинуть на 1 вверх

Проверка гипотезы Построила графики функции у = |х| - 4 ; у=х²; у = х²+3, у = х² – 4, у=2х, у =2х+3 у=|х|-4

у = х²; у = х²+2, у = х² – 4 у= х²-4 у =х²+2

Доказательство гипотезы: Функции у = f (х)+а, где а0 и у= f (х) имеют одну и ту же область определения. Следовательно, зная как для любого х по ординате функции у = f (х) найти ординату функции у = f (х)+а, можно по графику функции у = f (х) построить график функции у = f (х)+а. Пусть некоторая точка М'(х', у') принадлежит графику функции у = f (х), т. е. у' = f ( х' ). Возьмем точку Е(х', у'+а). Координаты её удовлетворяют условию у'+а = f ( х') +а. Следовательно, чтобы получить точку Е, нужно точку М' сдвинуть вдоль оси ОУ на величину а. При этом если а> 0, то сдвиг производиться вверх на величину а, если а

Сделаю вывод: Графики функции у= f (х)+а получается из графика у=f (х) сдвигом вдоль оси Оу на а единиц. Направление сдвига определяется знаком числа а ( при а>0 график сдвигается вверх. при а 0 а

Исследование графика функции y = f(x+a)

Возьмем теперь функцию у =|х| и у = |х +1| Для построения графика у = |х +1| применяем определение модуля. Раскрываем знак модуля, и построим графики функции. 1) х> -1, у = х+1 2)х -1, у = -х-1

Из сопоставления двух графиков: у =|х| и у= |х+1|, выдвигали гипотезу, что второй получается из первого сдвигом вдоль оси ОХ на 1 единицу влево. Сдвиг влево на 1

Проверка гипотезы: Составим таблицу значений функций у= |х+1| и сравним её с такой же таблицей, составленной для у =|х|, выписав эти таблицы рядом. х-2012 у21012 х у =|х|, у= |х+1|

Если сравнивать значения этих функции при одинаковых х, то окажется, что для некоторых х ордината первого графика больше, чем второго, а для некоторых – наоборот. Однако, если внимательно посмотреть на вторые строки этих таблиц, связь между таблицами можно установить. Именно, вторая функция принимает же самые значения, что и первая, только принимает их на единицу раньше, при меньших значениях х. Значит из каждой точки первого графика у =|х|, сдвинутой на 1 влево, получается точка второго графика у= |х+1|. Поэтому и весь график у= |х+1| получится, если сдвинуть график у =|х на 1 влево вдоль оси абсцисс

Построим график функции у= |х-1| Для построения графика применяем определение модуля. Раскрываем знак модуля, и построим графики функции. Из сопоставления двух графиков: у =|х| и у= |х-1|, выдвигаем гипотезу, что второй получается из первого сдвигом вдоль оси Ох на 1 единицу вправо. Сдвиг вправо на 1

Проверяем гипотезу для функции у= |x-4|, убеждаемся, что график получается из у =|х| сдвигом вдоль оси Ох на и 4 единицу вправо. у = х у = х - 4

Доказательство гипотезы: Если А –точка графика у =|х| с координатами (а, |а|), то точкой графика у = |x-1| с тем же значением ординаты у будет точка А'(а+1, |а|). Эту точку второго графика можно получить из точки А(а, |а|) первого графика сдвигом вдоль оси Ох вправо. Значит и весь график у= |х-1| получается из графика у =|х| сдвигом вдоль оси Ох вправо на1. Мы можем сказать, что функция у= |х-1| принимает те же значения, что и функция у =|х|, только с некоторым запозданием, а именно на 1.

Сделаем вывод: График функции y=f(x+a) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох на -а единиц. Знак «минус» означает, что если а >0, график сдвигается влево, если а0а

Исследование графиков функции у = f (х) и у = | f (х)|

Построим график функции у = | 2х-1|. Для построения графика применяем определение модуля. Раскрываем знак модуля, и построим графики функции. Сравниваем и анализируем полученные графики:

Получим этот график из прямой у =2х-1. Там, где прямая идет выше оси абсцисс, у положительно. т.е. 2х-1>0. Значит, на этом участке |2x-1|=2х-1 и искомый график у = | 2х-1| совпадает с графиком у =2х-1. Там, где 2х-1

Выдвижение гипотезы График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у 0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у

Проверка гипотезы на примере графика функции у = |2 х -6|. 1) Строим по определению модуля. 2) Построим по выдвинутой гипотезе. Сравнивая 1) и 2), видим, что графики одинаковые.

Построить график функции у = |х² - 2х| Освободимся от знака модуля по определению Если х² - 2х0, т.е. если х0 и х2, то |х² - 2х|= х² - 2х Если х² - 2х

Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у

Вывод : Г ипотеза верна, действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

у = f (х)+а у =| f (х)| у = f (x + a) Сдвиг вдоль оси ОУ а>0, сдвиг вверх а0, сдвиг влево а

Список литературы: И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука» Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука» М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука» Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва, «Просвещение».