Фрактали Презентацію підготовив Васильченко Владислав

Перелік слайдів 1.Фрактал 2.Історія виникнення терміну фрактал 3.Приклади фракталів 4.Генерування фракталів 5.Класифікація фракталів 6.Фрактали в природі 7.Генерація зображень природних об ' єктів 8.Механіка рідин 9.Фрактальні антени 10.Стиснення зображень 11.Література

Фрактал Фрактал ( лат. fractus подрібнений, дробовий ) нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельборт.

Історія виникнення терміну фрактал В их роках, Бенуа Мандельброт почав дослідження самоподібності в своїх роботах, наприклад Яка довжина узбережжя Британії ? Статистична самоподібність та дробова розмірність. Ця доповідь базувалась на ранніх роботахЛуі Фрая Річардсона. В 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об ' єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність. Він проілюстрував своє математичне означення захоплюючими зображеннями, зробленими за допомогою комп ' ютера. Ці зображення привернули велику увагу ; багато з них базувалися на рекурсії, що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.

Приклади фракталів Сніжинка Коха Загальна довжина N малих сходинок L дорівнює добуткові NL. При застосуванні до сніжинки Коха отримуємо невизначене число, коли L прямує до 0. Але таке означення не є задовільним, оскільки різні криві Коха мають різні розміри. Вихід полягає в тому, щоб вимірювати ані в метрах (m), ані в квадратних метрах (m 2 ), але в деякому іншому ступені метра, m x. Тепер 4N(L/3) x = NL x, оскільки втричі коротший відрізок потребує в 4 рази більше відрізків, як це видно з маюнку. Єдиним розв'язком цього рівняння є x = (log 4)/(log 3) Тому, одиниця вимірювання довжини межі сніжинки Коха дорівнює приблизно m

Генерування фракталів Три поширені методи генерування фракталів : Ітераційні функції будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень. Множина Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т - Квадрат та губка Менгера є прикладами таких фракталів. Рекурентні відношення Фрактали, що визначаються рекурентним відношенням в кожній точці простору ( такому як площина комплексних чисел ). Прикладами фракталів цього типу є множина Мандельброта, палаючий корабель та фрактал Ляпунова. Випадкові процеси Фрактали, що генеруються з використанням стохастичних, а не детермінованих процесів, наприклад : фрактальні ландшафти, траєкторія Леві та броунівське дерево. Останній утворює так звані кластери дифузійних концентратів та реакційних концентратів.

Класифікація фракталів Фрактали також можна класифікувати відповідно до їхньої самоподібності. Розрізняють три типи самоподібності у фракталах : Точна самоподібність Це найсильніший тип самоподібності ; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність. Майже самоподібність Слабка форма самоподібності ; фрактал виглядає приблизно ( але не точно ) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже ( але не точно ) самоподібними. Статистична самоподібність Це найслабкіша форма самоподібності ; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення « фракталів » просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності ( розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні ). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними. Слід зазначити, що не всі самоподібні об ' єкти є фракталами ; наприклад, числова вісь ( евклідова пряма ) є точно самоподібною, але, оскільки її розмірність Гаусдорфа та топологічна розмірність дорівнюють одиниці, вона не є фракталом.

Фрактали в природі Приблизні фрактали можна легко знайти в природі. Ці об ' єкти мають самоподібну структуру при великих, але обмежених діапазонах збільшень. Як приклади можна назвати хмари, сніжинки, гори, мережі річок, та системи кровоносних судин. Дерева та папороті є фрактальними за своєю природою та можуть моделюватись на комп ' ютерах із використанням рекурсивних алгоритм ів. Таку рекурсивність ясно видно на таких прикладах : гілка дерева або фронд від папороті є мініатюрним відтворенням цілого ; не ідентичне, але схоже за природою.

Генерація зображень природних об ' єктів Геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній тощо. Алгебричні та стохастичні для побудови ландшафтів, поверхні морів, моделей біологічних та інших об ' єктів.

Механіка рідин Фракталами добре описуються такі процеси та явища, що стосуються механіки рідин і газів : динаміка та турбулентність складних потоків ; моделювання полум ' я ; пористі матеріали, у тому числі в нафтохімії.

Фрактальні антени Фрактальну геометрію для проектування антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будинках. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилось, що така « антена » працює не гірше за звичайну. Й хоча фізичні принципи роботи такої антени не вивчено досі, це не завадило Коену заснувати власну компанію й налагодити їхній серійний випуск.

Стиснення зображень За допомогою фракталів можна стискати великі растрові зображення до частин їхніх нормальних розмірів. Це твердження випливає з теореми Банаха про стискуючі перетворення й є результатом роботи дослідника Технологічного інституту шт. Джорджія Майкла Барнслі. Коротко метод можна описати таким чином. Зображення кодується кількома простими перетвореннями, тобто визначається коефіцієнтами цих перетворень. Наприклад, закодувавши якесь зображення двома афінними перетвореннями, ми однозначно визначаємо його за допомогою 12 коефіцієнтів. Якщо тепер задати яку - небудь початкову точку ( наприклад, X = 0, Y = 0) та запустити ітераційний процес, то ми після першої ітерації отримаємо дві точки, після другої чотири, після третьої вісім і т. д. Через кілька десятків ітерацій сукупність отриманих точок описуватиме закодоване зображення. Але проблема полягає в тому, що дуже важко знайти коефіцієнти перетворень, які кодували б довільнезображення. Не зважаючи на те, що було створено програмне забезпечення, що реалізує ці алгоритми ( наприклад, бібліотеки фрактального стиснення використовуються в Microsoft Encarta ), досить ефективного методу не було знайдено досі, а сам Майкл Барнслі продовжує працювати в даному напрямкові.

Література Фракталы в физике. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. М.: Мир, с. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск : РХД, с. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику : Хаос и фракталы. М.: URSS, с. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А. Фракталы : от удивления к рабочему инструменту. К.: Наукова думка, с. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, с. Ландэ Д. В. Фракталы и кластеры в информационном пространстве // Корпоративные системы (2005) (6) С Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск : ИКИ, с. Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Ижевск : РХД, с. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. Ижевск : РХД, с. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Ижевск : ИКИ, с. Пайтген Х.- О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М.: Мир, с. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, с. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск : РХД, с. Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, 2003.

Дякую з а у вагу