-направляющие вектора прямых а b

х у z 1. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВF 1 F 1 (- 1; 0;1)

-направляющие вектора прямых Ответ:

х у z 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между прямыми PQ и EF, P – середина АА 1, Q – середина С 1 D 1, Е – середина ВВ 1, F – середина DC. P Q E F Р (4; 0; 2) Q (0; 2; 4) E (4; 4; 2) F (0; 2; 0) Ответ:

х у z E F 3. Ребро куба равно 3. Найдите угол между прямыми AE и BF, если A (3; 0; 0) Е (2; 3; 0) В (3; 3; 0) F (1; 3; 3) Ответ:

С1С1 А В С А1А1 В1В1 х у z 4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС 1 и СB 1.

Ответ:

α β α - угол между прямой и плоскостью β – угол между прямой и перпендикуляром к плоскости Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью можно найти косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

уравнение плоскости - вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой

х у z 1 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ 1 и плоскостью (А 1 EF), где Е – середина В 1 С 1, F E A 1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) A (1; 0; 0) B 1 (1; 1; 1) Запишем уравнение плоскости (А 1 EF):

A 1 (1; 0; 1)Е (0,5; 1; 1) - уравнение плоскости (А 1 EF).

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

х у z 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой AВ 1 и плоскостью (АСF 1 ). Запишем уравнение плоскости (АСF 1 ):

C (1; 0;0) F 1 (- 1; 0;1) - уравнение плоскости (АСF 1 ).

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

х y z 3. В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (АDS). E Запишем уравнение плоскости (АSD):

- уравнение плоскости (АSD).

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям.

Например:

1. В единичном кубе найдите угол между плоскостями (АСD 1 ) и (ВDC 1 ). х у z A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D 1 (0; 0; 1) Запишем уравнения плоскостей (АСD 1 ) и (BDC 1 ): D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C 1 (0; 1; 1)

A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D 1 (0; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C 1 (0; 1; 1) Ответ:

2. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями (АВС 1 ) и (А 1 В 1 С). С1С1 А В С А1А1 В1В1 х у z Запишем уравнения плоскостей (АBС 1 ) и (A 1 B 1 C):

Ответ:

3. В правильной шестиугольной призме ребро основания равно 1, а боковое ребро – 2. Найдите угол между плоскостями (ВА 1 D 1 ) и (АА 1 Е 1 ). х у z C (1; 0;0) Запишем уравнения плоскостей (А 1 BC) и (AA 1 E):

C (1; 0;0)

Ответ:

Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)