Числа окружают нас с детства, но, несмотря на их простоту, они обладают многими неизвестными и интересными свойствами. Заинтересовавшись свойствами простых и составных чисел, читая математические статьи, я узнал, что поиски различных интересных чисел – «жемчужин», до какого-то момента велись «вручную». Дальше вести поиск не мог никакой, даже самый гениальный человеческий ум. С середины XX века на помощь математикам-исследователям пришли ЭВМ. Дальнейший поиск замечательных чисел велся уже на компьютерах. Он продолжается и сегодня. Конечно, я не собираюсь соревноваться с IBM. Моей целью было находить «мелкие жемчужины» с помощью обычного персонального компьютера и исследовать их свойства.
Совершенные числа – числа, равные сумме всех своих делителей. История нахождения совершенных чисел очень интересна. Я попытался свести эти сведения в таблицу: Совершенное числоПервооткрыватель 1 6 = Математики Древней Греции 2 28 = =2 5 – 1 ( ) = =16 31 Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2 p - 1 и 2 p – 1, где (2 р – 1) – простое число, является совершенным числом =2 7 – 1 ( ) = = Математики средневековья В средние века церковь учила, что для спасения души достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство.
Совершенное числоПервооткрыватель итальянец Катальди, профессор математики из Флоренции и Болоньи, который первый дал способ извлечения квадратных корней Петербургский академик Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом : ( 2 p - 1 ) (2 p – 1) В этом числе тридцать семь цифр. Этот вычислительный подвиг совершил в 1883 году сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин было найдено в 1911 году, в нем 54 цифры. Появление в начале ХХ века первых механических счётных машин ускорило поиски новых совершенных чисел.
Совершенное числоПервооткрыватель 11Содержит 65 цифрОткрыто в 1914 году 12Состоит уже из 77 цифр: ( l). Найдено также в 1914 году 13Состоит из 314 цифр нашла электронная счет- ная машина 30 января 1952 года по программе американского матема- тика Робинсона из Кали- форнийского универси- тета 14Имеет 366 цифр Было найдено в тот же день к полуночи 15 Состоит из 770 цифр: ( – 1) ЭВМ нашла только в июне 1952 года ( – 1), состоит из 1327 цифр Были открыты в октябре 1952 года История поисков совершенных чисел наглядно показывает, как сильно увеличивает компьютер возможности человека. Сейчас даже простой школьник может написать программу поиска совершенных чисел. Я, используя алгоритм поиска делителей числа, написал ряд программ для поиска и исследования совершенных чисел.
3. Складывая цифры каждого из совершенных чисел, начиная со второго, и повторяя процесс сложения для всех получающихся сумм, в конце всегда получается 1: р = 3, 2 2 ( ) = 28; = 10; = 1 р = 5, 2 4 ( ) = 496; 4+9+6=19; 1+9=10; 1+0=1 3. Складывая цифры каждого из совершенных чисел, начиная со второго, и повторяя процесс сложения для всех получающихся сумм, в конце всегда получается 1: р = 3, 2 2 ( ) = 28; = 10; = 1 р = 5, 2 4 ( ) = 496; 4+9+6=19; 1+9=10; 1+0=1 Заинтересовавшись совершенными числами, я задался вопросом, только ли совпадение числа и суммы его делителей определяет «совершенство» совершенных чисел? Оказывается, что эти числа обладают еще рядом любопытных особенностей: Private Sub Command1_Click() Dim a(1 To 10) As Long Print "Совершенные числа:" k = 1 For n = 6 To s = 0 For i = 1 To n \ 2 If n \ i = n / i Then s = s + i Next i If n = s Then a(k) = n Print k; " - "; n: k = k + 1: End If Next n Print "Конец расчетов" End Sub Private Sub Command1_Click() Dim a(1 To 10) As Long Print "Совершенные числа:" k = 1 For n = 6 To s = 0 For i = 1 To n \ 2 If n \ i = n / i Then s = s + i Next i If n = s Then a(k) = n Print k; " - "; n: k = k + 1: End If Next n Print "Конец расчетов" End Sub Окно работающей программы 1. Каждое из известных совершенных чисел разлагается на сумму последовательных степеней числа 2 от 2 p-1 до 2 2(p-1) : 2. Каждое из известных совершенных чисел, начиная со второго, разлагается на сумму кубов последователь- ных нечетных чисел :
Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу. Они были названы дружественными. Задолго до ибн аль-Банны другой арабский математик ибн Курра (836 – 901) сформулировал следующий способ нахождения некоторых дружественных чисел: если три числа p=32 n-1 -1, q=32 n – 1 и r=92 2n-1 – 1 – простые, то числа A=2 n p q и B=2 n r будут дружественными. Следующую пару дружественных чисел и открыл в 1636 году Ферма (1601 – 1665). Но недавно в одном из трактатов марокканского ученого ибн аль-Банны (1256 – 1321) были найдены следующие строки: «Числа и являются дружественными… Аллах всеведущ». npqrAB Я проверил этот способ, проведя вычисления в электронных таблицах, и получил следующие результаты:
Многие математики после ибн Курры изучали дружественные числа, но ничего существенного не открыли. В их сочинениях присутствуют такие рецепты: «Чтобы добиться взаимности в любви, нужно на чем-нибудь записать числа 220 и 284, меньшее дать объекту любви, а большее съесть самому». Леонард Эйлер открыл 59 пар чисел. Он предложил пять методов отыскания дружест- венных чисел. В настоящее время известно около пар дружественных чисел, найденных либо хитроумными способами, либо простым перебором на ЭВМ. Любопытно, что на долю ЭВМ досталось в этом списке совсем немного чисел – большинство было уже открыто математиками. For n = 1 To 500 For m = 1 To 500 sn = 0: sm = 0 For i = 1 To n \ 2 If n \ i = n / i Then sn = sn + i Next i For i = 1 To m \ 2 If m \ i = m / i Then sm = sm + i Next i If sn = m And sm = n And n m Then Print n, m Next m Next n Print "Это дружественные числа среди первых 500" For n = 1 To 500 For m = 1 To 500 sn = 0: sm = 0 For i = 1 To n \ 2 If n \ i = n / i Then sn = sn + i Next i For i = 1 To m \ 2 If m \ i = m / i Then sm = sm + i Next i If sn = m And sm = n And n m Then Print n, m Next m Next n Print "Это дружественные числа среди первых 500" Окно работающей программы
Из математических достижений Мерсенна наибольшей известностью пользуются изученные им числа вида M n =2 n -1. Мерсенна интересовало, какие из чисел Mn=2 n -1 являются простыми. Еще Евклид доказал, что если число 2 n – 1 простое, то число 2 n-1 (2 n -1) – совершенное. Простые числа, получающиеся по формуле 2 n -1, называются числами Мерсенна. Если раньше поиск чисел Мерсенна велся "кустарными" методами, то в 20-м веке в работу включилась ЭВМ. В 1952 году было найдено сразу пять новых чисел Мерсенна: М 521, М 607, М 1279, М 2203 и М 2281 ; они являются соответственно тринадцатым – семнадцатым числами Мерсенна. Следующие шесть чисел Мерсенна были найдены в период с 1958 года по 1963 год. Наконец, в 1971 году было найдено 24-е число Мерсенна М 19337, в 1978 году – 25-е число Мерсенна М 21701, в 1979 – 26-е и 27-е числа Мерсенна М и М Последнее известное нам число Мерсенна найдено в 1983 году: это М Перебирая в программе простые числа, можно вычислить первые числа Мерсенна:
В таком случае, раз нет формулы, позволяющей вычислять простые числа, будем их находить с помощью компьютера: Private Sub Command1_Click() Label1 = "" For i = 2 To 1000 f = 0 For j = 2 To Sqr(i) If i / j = i \ j Then f = 1 Next j If f = 0 Then Label1 = Label1 + " " + Format$(i) Next i End Sub В таком случае, раз нет формулы, позволяющей вычислять простые числа, будем их находить с помощью компьютера: Private Sub Command1_Click() Label1 = "" For i = 2 To 1000 f = 0 For j = 2 To Sqr(i) If i / j = i \ j Then f = 1 Next j If f = 0 Then Label1 = Label1 + " " + Format$(i) Next i End Sub С простыми числами было бы просто, если бы существовала общая формула для их нахождения. Попытки сконструировать такую формулу велись издавна. Эйлер, например, придумал замечательный трёхчлен n 2 + n + 41, который при n = 0, 1,…, 39 принимает только простые значения. Но уже при n = 40 его значение равно Никакой много- член от одной переменной не может принимать только простые значения. Эйлер, например, придумал замечательный трёхчлен n 2 + n + 41, который при n = 0, 1,…, 39 принимает только простые значения. Но уже при n = 40 его значение равно Никакой много- член от одной переменной не может принимать только простые значения. А выражение A = n 2 – 79n даёт простые числа при любом n, не превосходящем 79. Но при n = 80 формула "отказывается служить"! А выражение A = n 2 – 79n даёт простые числа при любом n, не превосходящем 79. Но при n = 80 формула "отказывается служить"! Вот ещё интересный пример. Если в выражение вместо p подставлять различные простые нечётные числа до 31, то значения N тоже будут простыми числами. Но формула "отказывается служить" при p = 37. Вот ещё интересный пример. Если в выражение вместо p подставлять различные простые нечётные числа до 31, то значения N тоже будут простыми числами. Но формула "отказывается служить" при p = 37.
Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили образное название "близнецы". Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов, современной науке неизвестно. По мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше, хотя исследования, проводимые "в глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На 1996 г. рекордсменами считались близнецы ± 1, найденные, естественно, с помощью ЭВМ. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четвёрки вида ( n - 4, n - 2, n + 2, n + 4 ), например (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений - пока неизвестно. Я вычислил такие "квартеты" простых чисел до :
Четырехзначных простых чисел всего 1061, и ни одного палиндрома. А среди пятизнач- ных простых палин- дромических чисел встречаются такие красавцы: 13331, 15551, 16661, 19991, 72227, 75557, 76667, 78887, Четырехзначных простых чисел всего 1061, и ни одного палиндрома. А среди пятизнач- ных простых палин- дромических чисел встречаются такие красавцы: 13331, 15551, 16661, 19991, 72227, 75557, 76667, 78887, А шестизначных простых чисел – палиндромов нет. Исследуя простые палиндромические числа, можно сделать вывод, что искать их можно только среди чисел, с нечетным количеством цифр. Исключением является только двузначное число 11. А шестизначных простых чисел – палиндромов нет. Исследуя простые палиндромические числа, можно сделать вывод, что искать их можно только среди чисел, с нечетным количеством цифр. Исключением является только двузначное число мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа: 2, 3, 5, Из них 16 чисел – палиндро- мические – каждое равно обращён- ному: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.
Некоторые простые числа находят в своем семействе симметричное себе число. Так формируются красивые группы симметричных пар "перевертышей": 4 пары двузначных , , , 79 – 97: 14 пар трехзначных , , …, , 769 – пар четырехзначных, среди которых только 6 пар с одинаковыми средними цифрами: , , , пар трехзначных , , …, , 769 – пар четырехзначных, среди которых только 6 пар с одинаковыми средними цифрами: , , ,
Меняя местами цифры простого числа 1123 можно образовать 12 разных чисел. Из них 8 оказываются простыми. Вот они: 1123, 1213, 1231, 1321, 2113, 2131, 2311, Также 8 простых чисел формируются из цифр 1, 1, 3, 9: 1193, 1319, 1913, 1931, 3119, 3191, 3911, Для четырехзначных простых чисел с тремя одинаковыми цифрами рекорд - 3 простых из возможных четырех, например: 1777, 7177, 7717 и еще 7333, 3733, Интересна группа простых чисел, оканчивающихся на 13: 13, 11З, 313, 613,.... Основа их - формула Р = Т n, где Т n = 0, 1, 3, 6, 10, 15,21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, … Все эти числа, включая зачеркнутые, но без нуля, называются треугольными (Тn) и определяются формулой. Интересна группа простых чисел, оканчивающихся на 13: 13, 11З, 313, 613,.... Основа их - формула Р = Т n, где Т n = 0, 1, 3, 6, 10, 15,21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, … Все эти числа, включая зачеркнутые, но без нуля, называются треугольными (Тn) и определяются формулой. Число 31 – обращен- ное к числу 13 - другой "хвостик" у группы простых чисел: 31, 331, 3331, 33331, , , Их основа - формула где k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Число 31 – обращен- ное к числу 13 - другой "хвостик" у группы простых чисел: 31, 331, 3331, 33331, , , Их основа - формула где k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
В ходе моей исследовательской работы я убедился, что математика интригует и учёных и любителей математики, в том числе заинтересовала меня. Данная исследовательская работа так увлекла меня, что, используя свои познания в области информатики, я составлял программы для проверки известных истин в мире чисел, и пытался сам отыскать различные числа, которые назвал "жемчужины". Свою работу я адресую ученикам старших классов. Надеюсь, что после ознакомления с ней у них появится желание открывать новые горизонты в мире чисел.