Пирамида.

Что такое пирамида Пирамида – это геометрическая фигура, которая состоит из многоугольника, точки, не лежащей в плоскости многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Строение пирамиды апофема высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины; боковые грани треугольники, сходящиеся в вершине; боковые ребра общие стороны боковых граней; вершина пирамиды точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; высота отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; основание многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Виды пирамид

Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу; площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Свойства правильной пирамиды :

Прямоугольная пирамида Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Свойства пирамид Если все боковые ребра равны, то: около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то: в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; высоты боковых граней равны; площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы Теорема Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга. Теорема Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.

Формулы связанные с пирамидой Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где S площадь основания и высота; где h объём параллелепипеда; Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле : Где скрещивающиеся рёбра, расстояние между и, угол между и ; Полная поверхность это сумма площади боковой поверхности и площади основания: Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

Примеры решения задач Дано : В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите: боковое ребро SC. Решение: SOC: прямоуголный, угол SOC=90 градусов

Дано: В правильной треугольной пирамиде SABC R середина ребра BC, S вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите: площадь боковой поверхности. Решение: 1) Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины): 2) Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае: