МОУ лицей 10 города Советска Калининградской области учитель математики Разыграева Татьяна Николаевна Функция y = log a x, её свойства и график. 1

Работа устно: 1234 a b c d Н Е П Р Е 2

Дата рождения: 1550 год Место рождения: замок Мерчистон, в те годы предместье Эдинбурга Дата смерти: 4 апреля 1617 Место смерти: Эдинбург Научная сфера: математика Альма-матер: Сент-Эндрюсский университет Известен как: изобретатель логарифмов Джон Непер John Napier 3

Прочитайте и назовите график функции, изображённый на рисунке. x y 01 1 План Какими свойствами обладает эта функция при 0 < a < 1? 4

1) D(f) – область определения функции. 2) Чётность или нечётность функции. 4) Ограниченность функции. 5) Наибольшие, наименьшие значения функции. 6) Непрерывность функции. 7) E(f) – область значений функции. 3) Промежутки возрастания, убывания функции. 8) Выпуклость функции. План прочтения графика: 5

Леонард Эйлер нем. Leonhard Euler Дата рождения: 4 (15) апреля 1707 Место рождения: Базель, Швейцария Дата смерти: 7 (18) сентября 1783 (76 лет) Место смерти: Санкт-Петербург, Российская империя Научная сфера: Математика, механика, физика, астрономия Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций заслуга Леонарда Эйлера, так же как и их символика. 6

x y 0 c b cb y = x Показательная функция Логарифмическая функция (c ; b) Если точка (с;b) принадлежит показательной функции, то Или, на «языке логарифмов» Что можно сказать о точке (b;c)? (b ; c) Вывод: 7

x y 0 a a y = x 1 1 График функции симметричен графику функции относительно прямой y = x. 8

x y y = x График функции симметричен графику функции относительно прямой y = x. 9

x¼½1248 y = log 2 x Постройте графики функций: 1 вариант 2 вариант x¼½1248 y = log 1/2 x

x y Проверка: График логарифмической функции называют логарифмической кривой. 11

x y График функции y = log a x. Опишите свойства логарифмической функции. 1 вариант: при a > 1 2 вариант: при 0 < a < 1 12

Свойства функции у = log a x, a > 1. х у 0 1) D(f) = (0, + ); 2) не является ни чётной, ни нечётной; 3) возрастает на (0, + ); 4)не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5)не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна;7) E(f) = (-, + ); 8) выпукла вверх. 13

Свойства функции у = log a x, 0 < a < 1. х у 0 1) D(f) = (0, + ); 2) не является ни чётной, ни нечётной; 3) убывает на (0, + ); 4)не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5)не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна;7) E(f) = (-, + ); 8) выпукла вниз. 14

Основные свойства логарифмической функции a > 10 < a < 1 1D(f) = (0, + ) 2 не является ни чётной, ни нечётной; 3 возрастает на (0, + )убывает на (0, + ) 4 не ограничена сверху, не ограничена снизу 5 не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 6 непрерывна 7E(f) = (-, + ) 8 выпукла вверх выпукла вниз 15

Задание 1 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: х у Функция возрастает, значит: y наим. = lg1 = 0 y наиб. = lg1000 = lg10 ³ = 3 х у Функция убывает, значит: y наим. = -3 y наиб. = 2 16

Задание 2 Решите уравнение и неравенства: x y Ответ: х = 1 Ответ: х > 1 Ответ: 0 < х < 1 17

Самостоятельно: Решите уравнение и неравенства: Ответ: х = 1Ответ: х > 1Ответ: 0 < х < 1 х у х у х у 18

Задание 3 Постройте графики функций: x y y = - 3 x = - 2 Проверить! Самостоятельно. 19

x y Проверка: 20

Проверка: x y

Установите для предложенных графиков значение параметра a (a >1, 0 < a < 1) х у х у х у х у Не является графиком логарифмической функции 22

Блиц - опрос. Отвечать только «да» или «нет» Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции. Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х. Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а область значений этой функции – промежуток (0, + ). Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма. Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1;0). 23

Блиц - опрос. Отвечать только «да» или «нет» Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по - другому расположенная в координатной плоскости. Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма. Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной. Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при a >1 и наоборот при 0 < a < 1. Проверка: Да, да, нет, да, нет, да, нет, да, нет 24

Домашнее задание § , 1467,1480, вариант – а,б; 2 вариант – в,г. Удачи!!!!! 25

Используемые ресурсы и литература Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Учебн. для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд. – М.:Мнемозина, Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений/А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 3-е изд., испр. – М.:Мнемозина, Л.А. Александрова Алгебра и начала анализа. 11 класс. Самостоятельные работы:Учеб. пособие для общеобразоват. учреждений/ Под ред. А.Г. Мордковича. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, – 96 с. 26