Решение уравнений. Математика Преподаватель: Гардт С.М.

Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения -определение; -определение; -определение; - алгоритм решения уравнений, содержащие квадратные корни; - алгоритм решения уравнений, содержащие квадратные корни;- алгоритм решения уравнений, содержащие квадратные корни;- алгоритм решения уравнений, содержащие квадратные корни; - примеры; - примеры;- примеры;- примеры; -уравнения, содержащие корни других степеней (n, n>2) -уравнения, содержащие корни других степеней (n, n>2)-уравнения, содержащие корни других степеней (n, n>2)-уравнения, содержащие корни других степеней (n, n>2) - примеры; - примеры;- примеры;- примеры; Показательные уравнения: Показательные уравнения: определение; определение;определение; свойства степени. свойства степени. Уравнение типа: a f(x) = 1 Уравнение типа: a f(x) = 1Уравнение типа: a f(x) = 1Уравнение типа: a f(x) = 1 Уравнение типа: a f(x) = a g(x) Уравнение типа: a f(x) = a g(x)Уравнение типа: a f(x) = a g(x)Уравнение типа: a f(x) = a g(x) Вынести за скобки степень с наименьшим показателем. Вынести за скобки степень с наименьшим показателем.Вынести за скобки степень с наименьшим показателем.Вынести за скобки степень с наименьшим показателем.

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. а) х+3 =7 б) 2 х -4 =х-1 b) х-4 х 2 =0 Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения

: Алгоритм решения уравнений, содержащие квадратные корни: 1. возвести обе части уравнения в квадрат; 2. упростить полученное уравнение; 3. при необходимости ещё раз возвести в квадрат и т.д. до тех пор, пока не получится уравнение, не содержащее корни; 4. решить это уравнение; 5. сделать проверку или определить допустимые значения и отобрать соответствующие корни; 6. записать ответ.

Примеры: х 2 -2 = х (х 2 -2) 2 = (х) 2 х 2 -2 = х х 2 -х -2 =0 а =1, b = -1, c = -2 Д = b 2 -4ac Д = (-1) 2 -4*1*(-2) = 1+8 =9 Д>0, 2 к х 1 = (1+9)/2*1 х 1 =4/2 х 1 =2 х 2 = (1-9)/2*1 х 2 = -2/2 х 2 = -1 Проверка: = 2 2 = 2 верно (-1) 2 -2 = (-1) -1 не является корнем уравнения. Ответ: х = 2 Самостоятельно: х+2 = 2 х - 3 х 2 – 5=2 (х 2 – 5 ) 2 =2 2 х 2 – 5=4 х 2 =4 +5 х 2 =9 х 1,2 = ± 9 х 1 =3 х 2 = -3 Проверка: 3 2 – 5 = 2 4 = 2 верно (-3) 2 -5 =2 4 = 2 верно Ответ: х 1 =3, х 2 = -3 Самостоятельно: 61 – х 2 =5

Проверка: х+2 = 2 х - 3 х – 2 х = х=-5 х=5 х=5Проверка: 5+2 = 2* =7 верно Ответ: х=5 61 – х 2 =5 61 – х 2 =25 – х 2 =25-61 – х 2 =-36 х 2 =36 х 2 =36 х 1,2 = ±36 х 1,2 = ±36 х 1 = 6 х 1 = 6 х 2 = -6 х 2 = -6Проверка: 61 – 6 2 =5 25 =5 верно 25 =5 верно 61 – (-6) 2 =5 25 =5 верно Ответ: х 1 = 6, х 2 = -6

2 х +7 = х+2 2 х +7 = (х+2) 2 2 х+7 = х 2 +4 х +4 -х 2 -4 х + 2 х+7 -4 =0 -х 2 -2 х +3 =0 х 2 +2 х -3 =0 Д=4-4*1*(-3)=4+12=16 Д>0, 2 к х 1,2 =-b±D/ 2a х 1 = -2+4/2 х 1 =1 х 2 =-2-4/2 х 2 = -3 Проверка: 2*1 +7 = =3 верно 2(-3) +7 = неверно Ответ: х=1 Самостоятельно: х-2 =х-8 2 х+3 =6 – х *х+1 х+6=6

Уравнения, содержащие корни других степеней ( n, n>2) 1. обе части уравнения возвести в степень n; 2. решить полученное уравнение.

х х+5 =0 х 2 -1 = х+5 (х 2 -1) 6 = (х+5 ) 6 х 2 -1 = х+5 х 2 -х -6 =0 Д= 1- 4*1*(-6)=1+24 = 25 Д>0, 2 к х 1 =(1+5)/2 х 1 =3 х 2 =(1-5)/2 х 2 = -2 Проверка: =3+5 8 = 8 верно (-2) 2 -1 =(-2)+5 3 = 3 верно Ответ: х 1 =3, х 2 =-2 Самостоятельно 9 –х 2 =х

Определение. Уравнение содержащее переменную в показателе степени называется показательным. показательным. a x =b, a x =b, где a>0 и a1. где a>0 и a1. 1. при b>0 – 1 корень 2. При b0, a1 1.Теорема: если a>0, a1 и a х 1 = a х 2, то х 1 = х 2. и a х 1 = a х 2, то х 1 = х Свойства степени. 2. Свойства степени.

Свойства степени. a 0 =1; a -n = 1/а n ; a 0 =1; a -n = 1/а n ; a n a m =a n + m a n a m =a n + m a n /a m =a n – m a n /a m =a n – m (а n ) m = а nm (а n ) m = а nm а n/m = а n а n/m = а n (ab) n = a n b n (ab) n = a n b n (a/b) n = a n / b n (a/b) n = a n / b n m

Уравнение типа: a f(x) = 1 где f(x)- выражение содержащее неизвестное число; a>0, a1. Вывод: обе части уравнения привели к одному основанию Алгоритм решения: a f(x) = 1. Заменить 1= a 0 a f(x) = a 0 ; Решить уравнение f(x) =0. Пример: 3,4 (5 х-3) =1 Решение: 3,4 (5 х-3) = 3,4 0 5 х -3 = 0 5 х = 3 х = 3/5 Ответ: х = 3/5 Самостоятельно: а) 2,5 4 х+2 =1 а) 2,5 4 х+2 =1 б) х =1 б) х =1 Проверка.

Проверка: а) 2,5 4 х+2 =1 2,5 4 х+2 =2,5 0 2,5 4 х+2 =2,5 0 4 х+2 =0 4 х+2 =0 4 х = -2 4 х = -2 х = -2/4 х = -2/4 х = - 1/2 х = - 1/2 Ответ: х = -1/2 Ответ: х = -1/2 б) х = х = х = х = х = 0 16 х = х = -8 х = -8/16 х = -8/16 х = -1/2 х = -1/2 Ответ: х = -1/2 Ответ: х = -1/2

Уравнение типа: a f(x) = a g(x) где f(x),g(x) - выражение содержащее неизвестное число; Решить: f(x) =g(x) Пример: 3 6-х = 3 3 х -2 Пример: 3 6-х = 3 3 х -2 6-х = 3 х -2 6-х = 3 х -2 -х -3 х = х -3 х = х = х = -8 х = 2 х = 2 Ответ: х = 2 Ответ: х = 2 Пример: 1) 4 х = 64 4 х = 43 х = 3 Ответ: х = 3 2) (1/3)х = 27 (1/3)х = 3-3 ( (1/3)х = (1/3)3 х = 3 Ответ: х = 3 Решить: 460 в,г

Вынести за скобки степень с наименьшим показателем. 2 х + 2 х-1- 2 х-3 = 44 2 х-3( – 2) =44 2 х-3 * 11 = 44 2 х-3 = = = = 44/ 11 2 х -3 = 4 2 х -3 = 22 х–3 =2 х= 5 Ответ: х=5 Самостоятельно: 1) 7 х – 7 х-1 = 6 2) 3 х -3 х-2 =72 Проверка.

Проверка. 1) 7 х – 7 х-1 = 6 7 х-1 ( ) =6 7 х-1 ( ) =6 7 х-1 *6 = 6 7 х-1 *6 = 6 7 х-1 =6/6 7 х-1 =6/6 7 х-1 =1 7 х-1 =1 7 х-1 =7 0 7 х-1 =7 0 х-1 =0 х-1 =0 х=1 х=1 Ответ: х=1 Ответ: х=1 2) 3 х -3 х-2 =72 3 х-2 ( ) =72 3 х-2 ( ) =72 3 х-2 *8 =72 3 х-2 *8 =72 3 х-2 =72/8 3 х-2 =72/8 3 х-2 =9 3 х-2 =9 3 х-2 =3 2 3 х-2 =3 2 х-2 =2 х-2 =2 х = 4 х = 4 Ответ: х = 4 Ответ: х = 4

С помощью подстановки привести к квадратному уравнению 7 2 х – 48*7 х =49 Заменим 7 х =у у у =49 у у-49 =0 а =1, b= -48, с= -49 D=b 2 -4ac D=2500 (2k) у 1 = -1 у 2 =49 7 х =у 7 х = -1 корней нет заменим 7 х =49 7 х = 72 х = 2 Ответ: х = 2