Теория ©Бахова А.Б. МОУ СОШ 6 г. Нарткала Урванский район КБР

1. Область определения функции – множество всех значений, которые может принимать аргумент, т.е. множество значений х, для которых можно вычислить у, если функция задана формулой. Обозначение: 2. Область изменения функции или множество значений функции. Обозначение:

3. Точки пересечения с осями координат Ордината точки пересечения с осью Оу находиться из условия y=f(0). Абсциссы точек пересечения с осью Ох (нули функции) находятся из условия f(x)=0.

4. Четные, нечетные функции и функция общего положения y = f(x) – четная f(-x) = f(x) x y 0 -xx f(x)f(-x) Область определения четной функции – интервал оси Ох, симметричный относительно точки О. График четной функции симметричен относительно оси Оу.

4. Четные, нечетные функции и функция общего положения y = f(x) – нечетная f(-x) = - f(x) х у 0 - х х f(-x) f(x) Область определения нечетной функции – интервал оси Ох, симметричный относительно точки О. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего положения.

5. Периодические функции y = f(x) – периодическая f(x+Т) = f(x), Т - период х у 0 Т х х + Т

6. Ограниченные функции y = f(x) – ограниченная на интервале (а, в) х у М -М ab

7. Точки разрыва функции и их характер Для элементарных функций точка разрыва – это такая точка, в которой функция не определена, но определена в окрестности этой точки. Виды точек разрыва: х у 0 точка устранимого разрыва А - не существует; точка конечного разрыва х у 0 А В

7. Точки разрыва функции и их характер Для элементарных функций точка разрыва – это такая точка, в которой функция не определена, но определена в окрестности этой точки. Виды точек разрыва: точка конечного разрыва х у 0 А х у 0

8. Асимптоты графика функции Прямая l называется асимптотой графика y=f(x), если расстояние от точки M графика до прямой стремиться к нулю при удалении точки М по кривой в бесконечность. х у 0 (l)(l) d M

8. Асимптоты графика функции Виды асимптот: Вертикальная x = x 0 Горизонтальная y=y 0 Наклонная y=kx+b (k=0) x y 0x0x0 х у 0 у 0 у 0 х у 0

8. Асимптоты графика функции Если f(x) можно представить в виде f(x)=kx+b+ α(x), где α(х) 0, когда х, то прямая у=kx+b является асимптотой: при k=0 – горизонтальной, а при k0 – наклонной. График функции может иметь вертикальные асимптоты в точках разрыва (бесконечного) или на границах области определения функции.

9. Возрастание и убывание функции на интервале y = f(x) возрастает на интервале (а; b) х у 0 аb x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 )

9. Возрастание и убывание функции на интервале y = f(x) убывает на интервале (а; b) х у 0 аb x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 )

9. Возрастание и убывание функции на интервале Достаточные признаки возрастания и убывания функции: Если для всякого то функция возрастает на интервале (а; b) Если для всякого то функция убывает на интервале (а; b)

10. Точки экстремума В окрестности точки х 0 f(x 0 ) – наибольшее значение функции х у 0 х 0 х 0

10. Точки экстремума В окрестности точки х 0 f(x 0 ) – наименьшее значение функции х у 0 х 0 х 0

Достаточные признаки экстремума Первый достаточный признак (или не существует) х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0

Достаточные признаки экстремума Первый достаточный признак (или не существует) х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0

Достаточные признаки экстремума Второй достаточный признак х у 0 х 0 х 0

Достаточные признаки экстремума Второй достаточный признак х у 0 х 0 х 0

11. Выпуклость и вогнутость кривой Кривая выпукла на (a; b) Кривая расположена ниже любой своей касательной х у 0 а b

11. Выпуклость и вогнутость кривой Кривая вогнута на (a; b) Кривая расположена выше любой своей касательной х у 0 аb

11. Выпуклость и вогнутость кривой Достаточные признаки выпуклости и вогнутости на (a; b) Кривая вогнута на (a; b) на (a; b) Кривая вогнута на (a; b) Для построения графика целесообразно проанализировать, какой вид имеет график функции на интервале (a; b) в зависимости от знаков первой и второй первообразных Результат удобно свести в таблицу

возрастает, выпуклая возрастает, вогнутая убывает, выпуклая убывает, вогнутая х у 0 ххх ууу 000 аапа b bbb

12. Точки перегиба графика функции Точка перегиба (х 0 ; f(x 0 )) В точке (х 0 ; f(x 0 )) существует касательная, при переходе через эту точку меняется выпуклость на вогнутость (или наоборот) х у 0 х 0 х 0 f(x 0 )

Достаточные признаки выпуклости и вогнутости В точке (х 0 ; f(x 0 )) существует касательная, (или не существует) и при переходе через точку х 0 меняет знак (х 0 ; f(x 0 )) – точка перегиба Для построения точки перегиба необходимо установить связь между существованием производной в точке х 0 и существованием касательной к графику функции в точке (x 0 ; f(x 0 )).

Производная существует Производная не существует Касательная горизонтальная наклонная Касательная вертикальная не существует х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 - не сущ.

Различные типы точек перегиба: х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0 х у 0 х 0 х 0

Прежде чем приступить к решению примеров отметим, что при построении графика не обязательно анализировать все элементы поведения функции Построение графиков функций целесообразно начинать с исследования поведения непрерывной функции, используя первую производную Заметим, что областью изменения многочлена нечетной степени является множество всех действительных чисел Для многочленов четной степени и других рассматриваемых функций E f, как правило, определяется после проведения исследования. ЗАМЕТКИ

Приведенные примеры распределены по степени трудности А – общеобразовательный уровень Б – задания средней трудности В – рассчитанные на более глубокое математики (*) – повышенной трудности В примерах выполнить: 1. Найти область определения функции, точки пересечения с осями координат; 2. Исследовать функцию на четность или нечетность и на периодичность; 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума; 4. Построить график функции.