АВТОР: Землянникова С.В.

Из истории открытия логарифмов Основная идея введения логарифмов основывается на формуле а т а п = а т+п (1) что умножение можно свести к более простому действию сложению и состоит в том, что умножение можно свести к более простому действию сложению. С идеей этой были знакомы еще математики древности.

Общая формулировка, эквивалентная правилу умножения (1), дана, например, в девятой книге знаменитых «Начал» Е в к л и д а. Однако о логарифмах в древние времена не могло быть и речи. Тогда еще не рассматривались степени с дробными и отрицательными показателями, да и сами отрицательные числа многим математикам не были известны.

Евклид около 300 г. до н. э. Древнегреческий математик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала»

Орезм Впервые дробные показатели использовал, по- видимому, французский математик Орезм (вторая половина XVI века). Но идеи Орезма слишком опередили математику того времени, и трактат его был вскоре забыт. Шюке Нулевой и отрицательный показатели появились в работе французского математика Шюке (XV век). Введение в математику степеней с произвольными действительными показателями подготовило почву для рассмотрения логарифмов.

Орезм ( ) Разрабатывал теорию отношений. В 1368 изложил учение о степени с дробным показателем. В работе О конфигурации качества высказал идею функциональной зависимости от одной, двух и трех переменных и ее графическом изображении.

Французский математик. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах»,где он ввёл в употребление отрицательные и нулевые показатели степеней. Символика Шюке приближается к современной. Шюке Никола XV в

Первые логарифмические таблицы были составлены независимо друг от друга шотландцем Непером ( ) и швейцарцем Б ю р г и ( ). Характерно следующее высказывание Непера, которое он приводит в предисловии к своим таблицам : «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики». «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики».

Джон Не́пер (1550 – 1617) Шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

Иост Бюрги ( ) Высококвалифицированны й механик и часовых дел мастер опубликовал книгу «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях»

Таблицы Непера были в некоторых отношениях более совершенными, чем таблицы Бюрги. Однако и они были неудобны для вычислений. Неперовские логарифмы (Nep log х) определялись (в наших обозначениях) таким образом: Nep log x = 10 7 log е 10 7 / x, где е 2,7 (см. ч. I, § 134). В частности, Nep log 1 = 10 7 log е 10 7 =/= 0. Такие таблицы не удовлетворяли и самого Непера. Вместе со своим почитателем Бриггсом ( ) Непер решил составить таблицы более простых, десятичных логарифмов. Эти таблицы были изданы Бриггсом в 1624 году уже после смерти Непера.

Наибольшее влияние оказали логарифмы на развитие астрономии. Успехи мореплавания в средние века обусловливали большой спрос на астрономические таблицы, составление которых требовало весьма сложных вычислений. Использование логарифмических таблиц значительно облегчало и ускоряло эти вычисления. изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь. По образному выражению французского математика Лапласа ( ), изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь. Общее определение логарифмической функции и ее широкое обобщение дал Леонард Эйлер.

Десятичным 10lg. Десятичным логарифмом называют логарифм по основанию 10 и обозначают lg. Натуральным eln Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию e и обозначается ln (e …).

Основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

4. Дополнительные формулы log a a = 1 log a 1 = 0

5. Переход к новому основанию,где

Следствие,где

Вычисление логарифмов

Тест 1 Далее

1. 3; 2. -3; 3. 4; 4. 3; 5. 1; 6. 3; 7. 2; 8. -2; 9. -2; 10. 1; 11. 0;. 12. ½; 13. 4; ; 15. 1; Далее Проверим

Решение логарифмов 1. Вычислить: log log 6 2 = Имеем log log 6 2 = log 6 (18·2) = =log 6 36 = log = 2log 6 6 = 2·1 =2 Воспользуемся свойством log a b + log a c =log a bc и свойством log a b c =c log a b, а также log a a = 1

Решение логарифмов Вычислить: Вычислить: log log = Воспользуемся свойством log a b + log a c =log a bc и свойством log a b c =c log a b, а также log a a = 1 Имеем log log = log 12 (2·72)= =log =log =2log 12 12=2·1=2

Решение логарифмов 2. Вычислить: log – log 12 4 = Воспользуемся свойством log a b - log a c =log a (b/c) Имеем log log 12 4 = =log 12 (48/4) = log = 1

Решение логарифмов Вычислить: Вычислить: log 5 75 – log 5 3 = Воспользуемся свойством log a b - log a c =log a (b/c) Имеем log log 5 3 = =log 5 (75/3)=log 5 25 =log =2log 5 5= =2·1=2

Решение логарифмов 3. Вычислить: Воспользуемся свойством log a b c =c log a b, а также log a a = 1 Имеем

Решение логарифмов Вычислить: Вычислить: Воспользуемся свойством log a b c =c log a b, а также log a a = 1

4. Вычислить: Воспользуемся свойствами

Вычислить: Вычислить: Воспользуемся свойствами