Преобразование Наполеона четырехугольников. Преобразование Наполеона четырехугольников сопоставляет четырехугольнику новый четырехугольник, вершинами. - презентация

1 Преобразование Наполеона четырехугольников

2 Преобразование Наполеона четырехугольников сопоставляет четырехугольнику новый четырехугольник, вершинами которого являются центры квадратов, построенных на сторонах исходного четырехугольника. Теорема Наполеона утверждает: если на сторонах произвольного треугольника вне его построить правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник.

3 Преобразование Наполеона четырехугольников Если на сторонах произвольного четырехугольника построить квадраты, то их центры образуют другой четырехугольник, в котором диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Этим свойством обладают диагонали квадрата, поэтому образовавшийся четырехугольник можно назвать квадратоидом. Значит, преобразованием Наполеона произвольного четырехугольника является квадратоид.

4 Если на сторонах параллелограмма построить квадраты, то их центры образуют квадрат или преобразованием Наполеона параллелограмма является квадрат (доказательство теоремы в пункте 6).

5 Если на сторонах ромба построить квадраты, то их центры образуют квадрат или преобразованием Наполеона ромба является квадрат.

6 Если на сторонах трапеции построить квадраты, то их центры образуют четырехугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны. Преобразованием Наполеона трапеции является квадратоид.

7 Если на сторонах равнобокой трапеции построить квадраты, то их центры образуют четырехугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, а смежные стороны попарно равны. Образовавшийся четырехугольник можно назвать дельтоидом (он напоминает дельтаплан). Значит, преобразованием Наполеона равнобокой трапеции является дельтоид.

8 Докажем, что если на сторонах параллелограмма построены квадраты, то их центры образуют квадрат.

9 Доказательство состоит из двух частей: a) докажем, что в четырехугольнике FGHE все стороны равны; б) докажем, что четырехугольник FGHE все углы по 90 градусов.

10 а) Пусть АВСD – параллелограмм и F, G, H, E - центры квадратов, построенных соответственно на сторонах АD, AВ, BC и DC. 1)Рассмотрим ΔFAG и Δ HCE. AF = HC – как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Аналогично, AG = CE.

11 а) Пусть АВСD – параллелограмм и F, G, H, E - центры квадратов, построенных соответственно на сторонах АD, AВ, BC и DC. 2) Рассмотрим Δ FDE и Δ GBH. FD = HB - как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Аналогично, DE = BG. < FDE = 360° - ( 90° + < ADC) = =270° - < ADC; < GBH = 360° - ( 90° + < ABC) = =270° - < ABC. < ADC = < ABC – как противоположные углы в параллелограмме. Значит, < FDE = < GBH. Следовательно, Δ FDE = Δ GBH (по двум сторонам и углу между ними).

12 3) Докажем, что Δ FDE = Δ FAG. AF = FD - как радиусы окружности, описанной около квадрата, построенного на стороне AD параллелограмма ABCD. AG = DE - как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Докажем, что

13 б)