Дидактический материал тема: «Тригонометрические функции» - презентация

1 Дидактический материал тема: «Тригонометрические функции»

2 Пояснительная записка В результате изучения курса математики учащиеся должны понимать, что функция – математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, уметь логически мыслить, проявлять творческие способности на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности. Данные дидактические материалы рассчитаны для курса математики 10 класса, обучающего по учебнику Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» по основной программе с учетом стандартов основного общего образования по математике.

3 После пройденного курса учащиеся должны знать: Определение области определения и множества значений функции, в том числе тригонометрических функций; Определение четности и нечетности функции, периодичности тригонометрических функций; Понятие функции косинуса, схему исследования функции y = cos (x) и её свойства; Понятие функции синуса, схему исследования функции y = sin (x) и её свойства; Понятие функции тангенса и котангенса, схему исследования функции y = tg (x) и y = ctg (x) и их свойства; Какие функции являются обратными тригонометрическими, иметь представление об их графиках и свойствах.

4 После изучения практического материала учащиеся должны уметь: Находить область определения и область значений тригонометрических функций; Находить период тригонометрических функций, исследовать их на четность и нечетность; Строить графики функций y = cos (x), y = sin (x), y = tg (x) и y = ctg (x); Находить по графикам промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значения функций; Преобразование графиков: параллельный перенос, симметрия относительно начала и осей координат, растяжение и сжатие вдоль осей координат; Решать задачи с использованием свойств обратных тригонометрических функций; Использовать свойства функции для сравнения и оценки её значений.

5 § 38. «Область определения и множество значений тригонометрических функций». Цель: Знать: Определение области определения и множества значений функции, в том числе тригонометрических функций. Уметь: Находить область определения и область значений тригонометрических функций. Урок 1-3. Справочный материал: Функция Область определения Д(у) Множество значений Е(у) y = sin (x)R-1 y 1 y = cos (x)R-1 y 1 y = tg (x)R y = ctg (x)R

6 Тренировочный тест 1. Найдите область определения функции y = cos (x). а) ; б) ; в) ; г). 2. Найдите множество значений функции y = 3 - 5sin(x). а) [-8; 8]; б) [-2; 8]; в) [-2; 5]; г) [-5; 2]. 3. Чему равно наименьшее значение функции y = sin (x) cos (x)? а) -1; б) -2; в) -1/2; г) Чему равно наибольшее значение функции y = sin 2 x – cos 2 x? а) 0; б) 1; в) -1; г) 2.

7 Тренажер 1 Найти область определения функции: В – 1В – 2В – 3 1. y = ctg x1. y = 3tg x1. 2. y = tg 2x2. 3. y = tg x + ctg x

8 Самостоятельная работа 1. Найдите область определения функции: а) б) в) 2. Найдите множество значений функции: y = (cos x – sin x) 2 y = (cos x + sin x) 2

9 § 39. «Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций». Цель: Знать: Определение четности и нечетности функции, периодичности тригонометрических функций. Уметь: Находить период тригонометрических функций, исследовать их на четность и нечетность. Справочный материал: Функция ЧетностьПериод y = sin x Нечетная 2П y = cos x Четная 2П y = tg x НечетнаяП y = ctg x НечетнаяП

10 Тренировочный тест. 1. Какая из функций является четной? А. Б. В. Г. 2. Какая из функций является нечетной? А. Б. В. Г. 3. Какая из функций не является четной, не является нечетной? А. Б. В. Г. 4. Найдите наименьший положительный период функции А. Б. В. Г. 5. Какая из функций имеет период 2П? А. Б. В. Г.

11 Диктант В – 1 1. Функция f(x) периодическая с периодом 8. Запишите вытекающее отсюда равенство. 2. Каков наименьший положительный период функции y=tg x ? 3. Является ли число 3,14 периодом синуса? 4. Каков наименьший положительный период функции 5. Каков наименьший положительный период функции В – 2 1. Функция g(x) периодическая с периодом 6. Запишите вытекающее отсюда равенство. 2. Каков наименьший положительный период функции y=cos x ? 3. Является ли число 3,14 периодом котангенса? 4. Каков наименьший положительный период функции 5. Каков наименьший положительный период функции

12 Домашняя тренировочная работа В – 1В – 2В – 3 1. Найдите значение sin α, если: а) 2. Найдите значение tg α, если: а) 3. Найдите наименьший положительный период функции: а) б) 4. Найдите наименьший положительный период функции: а) б) 5. Является ли периодической функция: а)

13 Тренажер 2 В – 1В – 2В – 3В – 4 I. Периодичность тригонометрических функций. 1) Для данной функции найдите наименьший положительный период: II. Четность тригонометрических функций. 2) Исследуйте функцию на четность: III. Монотонность тригонометрических функций. 3) Вставьте пропущенный знак: или = между значениями тригонометрических функций:

14 § 40. «Свойства функции y=cos x и её график». Знать: Понятие функции косинуса, схему исследования функции y=cos x (ее свойства). Уметь: Строить график функции y=cos x, находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значения функции.

15 Самостоятельная работа В – Изобразите схематически график функции y=3cos(x). Отметьте на графике три точки, для которых у=1,5. Чему равны соответствующие значения х? 2. Запишите наименьший положительный период функции. 3. Запишите промежутки возрастания и убывания функции. 4. Для функции найдите: а) область определения; б) множество значений; в) нули функции. В – Изобразите схематически график функции. Отметьте на графике три точки, для которых у=-0,5. Чему равны соответствующие значения х? 2. Запишите наименьший положительный период функции y=0,5cos(0,5x). 3. Найдите, в каких точках функция y=3cos(x) – 2 достигает своего наибольшего значения? 4. Начертите график функции y=cos(x) на отрезке [-Π; 2,5Π]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых выполняются условия: а) cos(x) = 1; б) cos(x) > 0,5. Выпишите соответствующие значения х, при которых выполняется каждое из условий.

16 § 41. «Свойства функции y=sin x и её график». Знать: понятие функции синуса, схему исследования функции y=sin x (ее свойства). Уметь: Строить график функции y=sin x, находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значения функции.

17 Проверочная работа В – Изобразите схематически график функции y = sin(x). Отметьте на графике три точки, для которых у = 1. Чему равны соответствующие значения х? 2. Запишите промежутки возрастания и убывания функции на отрезке В – Запишите наименьший положительный период функции. 2. Найдите наибольшие и наименьшие значения функции. 3. Сравните числа sin1 и sin3. В – 3. Для функции y = 2sin(3x) найдите: а) область определения; б) множество значений; в) нули функции; г) промежутки знакопостоянства; д) наибольшее и наименьшее значения; е) промежутки возрастания и убывания. Постройте этот график. В – 4. Начертите график функции y = sin(x) на отрезке [-Π; 2,5Π]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых выполняются условия: а) sin(x) = 1; б) sin(x) = 0,5; в) sin(x) > 0,5. Выпишите соответствующие значения х, при которых выполняется каждое из условий.

18 Работа в группах по графикам 1. Каковы значения х, для которых f(x) = 0, f(x) 0? 2. Каковы промежутки возрастания и убывания функции? 3. Укажите значения х, при которых функция имеет максимум или минимум. 4. Обратима ли функция на R?

19 Тренировочная работа 1. Для функции y = sin(x) укажите на отрезке [0; 2Π] промежутки, в которых эта функция: а) возрастает; б) убывает; в) положительна; г) отрицательна. 2. При каких значениях х на [0; 2Π) функция принимает наибольшее значение и чему оно равно: а) y = 3 + cos(x); б) y = 2 - sin(x)? 3. При каких значениях х на [0; 2Π) функция принимает наименьшее значение и чему оно равно: а) y = 3 + cos(x); б) y = 2 - sin(x)? 4. Существует ли такое значение х из интервала (0; Π), при котором функция y = tg(x) принимает своё наибольшее значение?

20 Диктант В – 1 [ В – 2 ]. 1. Какова область определения [значений] синуса? 2. Какова область значений [определения] тангенса? 3. Является ли функция y = cos(x) [y = tg(x)] нечетной? 4. Каков наименьший положительный период функции y = tg(x) [y = sin(x)] ? 5. Укажите нули функции y = sin(x) [y = tg(x)]. 6. Укажите промежутки, на которых тангенс положителен [косинус отрицателен]. 7. Выяснить возрастает или убывает функция y = cos(x) [y = sin(x)] на промежутке.

21 Тренажер 3 Постройте график функции: В – 1В – 2В –

22 § 42. «Свойства функции y = tg (x) и её график». Знать: понятие функции тангенса, схему исследования функции y = tg (x) (ее свойства); понятие функции котангенса, схему исследования функции y = ctg (x) (ее свойства). Уметь: строить графики функций y = tg (x), y = ctg (x), находить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшие и наименьшие значения функции.

23 Тренировочная работа В – 1В – 2В – 3 1) Выяснить, является ли функция y = tg (x) возрастающей на промежутке: [2; 3] 2) Используя свойство возрастания функции y = tg (x) сравните числа: 3) Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (- Π; 2Π ). 4) Найдите все решения, принадлежащие промежутку (- Π; 2Π ).

24 Работа в группах В – 1В – 2В – 3В – 4 1) Найдите значение: а) б) 2) Найдите область определения: а) 3) Постройте график функции: а)

25 § 43. «Обратные тригонометрические функции». Знать: какие функции являются обратными тригонометрическими, иметь представление об их графиках, свойствах. Уметь: решать задачи с использованием свойств обратных тригонометрических функций.

26 Работа в группах В – 1В – 2В – 3 1) Задайте с помощью формулы функцию, обратную функции f(x). Укажите область определения и область значений полученной функции. Найдите промежутки её возрастания и убывания. 2) Заполните таблицу (учащимся предлагается таблица с заполненной первой строкой). ааа arcsin (a) arccos (a) arctg (a)

27 Диктант В – 1В – 2 1) Поставьте знак равенства или неравенства так, чтобы получилось истинное высказывание: а) б) в) 2) Найдите: а) б) 3) Найдите значение выражения x + arccos (x), при следующих значениях х : а) ; б)

28

29

30 Контрольная работа Тема: «Тригонометрические функции». В – 1В – 2 1) Постройте график функции на отрезке [-Π;Π] и опишите свойства функции, используя её график. y = cos (x)y = sin (x) 2) Для функции: Найдите: а) наименьший положительный период; б) наименьшее и наибольшее значения. 3) Сравните числа: а) и б) и в) и 4) Найдите область определения функции: 5) Изобразите схематически график функции: Отметьте на графике две точки, для которых у = 4 у = -0,25 Чему равны соответствующие значения х ?

31 Список использованной литературы 1. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа 10 – 11 классы. [Текст]: учебник, Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров. – М.: Просвещение, Вопросы преподавания алгебры и начала анализа в средней школе. [Текст]: / – М.: Просвещение, Гусев, В.А. Математика (справочные материалы). [Текст]: / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение. 4. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10 – 11 классы. [Текст]: учебник, А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын. М.: Просвещение, Лукин, Р.Д. Устные упражнения по алгебре и началам анализа. [Текст]: / Р.Д. Лукин, Т.К. Лукина, М.С. Якунина. – М.: Просвещение, Алтынов, П.И. Алгебра и начала анализа 10 – 11 классы. Тесты. [Текст]: / П.И. Алтынов. – М.: Дрофа, Аверьянов, Д.И. Математика для школьников и поступающих в ВУЗы. [Текст]: / Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Баврин. – М.: Дрофа, 2000.