Алгебра, 9 класс. Цель урока : сформировать у учащихся понятие геометрической прогрессии и научиться применять формулы Г. П. к решению практических задач. - презентация

1 Алгебра, 9 класс

2 Цель урока : сформировать у учащихся понятие геометрической прогрессии и научиться применять формулы Г. П. к решению практических задач. Изучить геометрическую прогрессию с помощью примеров Вывести формулы для вычислений данных Г. П. Рассмотреть решение задач на нахождения членов прогрессии Научиться применять формулы Г. П. к решению практических задач.

3 Содержание Определение геометрической прогрессии Знаменатель геометрической прогрессии Примеры задания Г. П. Формула n-го члена Г. П. Формула n-го члена Г. П. Решение задач : задача 1 задача 2 задача 3 задача 4 Итог урока

4 Пример геометрической прогрессии Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии. Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5,....

5 Определение геометрической прогрессии Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Иначе говоря, (b n ) - геометрическая последовательность, b n 0 и q - некоторое число, то b n+1 =b n q.

6 В нашей последовательности степеней числа 2 q =2 и b n+1 =b n 2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q. b n+1 /b n = q Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

7 Примеры задания геометрической прогрессии 1. Если b 1 = 1 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрессию 1; 0,1; 0,01; 0,001; Если b 1 = - 5 и q = 2, то геометрическая прогрессия получится следующая -5; -10; -20; -40;...

8 Формула n-го члена геометрической прогрессии Зная первый член и знаменатель Г.П., можно найти любой член последовательности: Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. b 2 = b 1 q b 3 = b 2 q = b 1 q 2 b 4 = b 3 q = b 1 q 3 b 5 = b 4 q = b 1 q 4... b n =b 1 q n-1 (*)

9 Решение задач Задача 1 В геометрической прогрессии b 1 =12,8 и q=1/4. Найдите b 7. Решение: b 7 =b 1q 6 =12,8(1/4) 6 = 128 / = = 2 7 / = 1/320.

10 Задача 2 Найдем восьмой член геометрической прогрессии (b n ), если b 1 =162 и b 3 =18. Решение : используя формулу (*), найдем знаменатель q.(*) Так как b 3 =b 1q 2, то q 2 =b 3 / b 1 =18 / 162=1/9. Решив уравнение q 2 = 1/9, получим q = ±1/3. Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Если q = 1/3, то b 8 =b 1q 7 =2/27. Если q = -1/3, то b 8 = -2/27. Задача имеет два решения: b 8 = 2/27 и b 8 = -2/27.

11 Задача 3 После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.

12 Решение : так как после каждого движения поршня в сосуде остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8. Мы имеем Г.П.- (bn), b n = 760, а q = 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии : b 7 = 760(0,8) (мм рт. ст.).

13 Задача 4 Решение : 10% = 0,1. Коэффициент увеличения вклада равен 1,1. Имеем геометрическую прогрессию (с n ). с 1 = 1000 р., q = 1,1. с 4 – вклад через три года. Следовательно, с 4 = с 1. q 3 = (1,1) 3 = Через три года вклад будет равен 1331 р. Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года?

14 Итак, на этом уроке вы познакомились с одним из видов числовых последовательностей. Чтобы закрепить новые понятия, выполните задания. Ответы и решение напишите на листке бумаги и сдайте учителю.

15 Задания : Закончите фразу : 1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел В геометрической прогрессии число q называется q можно найти по формуле Формула нахождения n-го члена Г. П. такова.....

16 Решите самостоятельно 1 Найдите первые пять членов Г. П. - (b n ), если b 1 = 6, q = 2. 2 Последовательность ( x n ) – Г. П., x 1 = 16, q = 1/2. Найдите седьмой член прогрессии. 3 Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800 р.?

17