Площади и объемы Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна, МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область Учимся решать стереометрические задачи. Подготовка. - презентация

1 Площади и объемы Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна, МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область Учимся решать стереометрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание 14. 1

2 ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ Площадь сечения многогранника. Площадь поверхности многогранника. Объем многогранника. 2

3 Задача 1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6, а высота 4. Точки K,P,M середины ребер AB,BC,SD. a)Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K,M,P. b)Найдите площадь этого сечения. Решение. a) S L M N C R O Y B P A K T D L1 M1 N1 1. KPAD = T, 2. KPDC = R, 3. MRSC = L, 4. MTAS=N, 5. NMLPK – искомое сечение b) Проекция NMLPK на плоскость основания пирамиды - пятиугольник N 1 M 1 L 1 PK α - угол между плоскостями сечения и проекции 6 4 3

4 S L M N C R O Y B P A K T D L1 M1 N1 α = MYM 1 1. BD =,M 1 Y = DO = 0,5DB= MM 1 = 0,5SO = 2 S D C M L R E 2. ME SC, ME = 0,5 SC, LC = 0,5 ME = ¼ SC S OC L L1 L 1 C:OC = 1:

5 A D C B O y M1 L1 N1 K P L 1 N 1 =2OL 1 = 2(OC-L 1 C)=2(OC-1/4OC) = 3/2OC L1N1L1N1 Ответ: 5

6 Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На стороне CC 1 взята точка K так, что CK : KC 1 = 1:4, а на ребреA 1 C 1 взята точка M так, что A 1 M:MC 1 = 1:2. a)Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A 1 B 1 призмы. b)Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM. Решение. A1 M K D C1 B A N B1 T C D1 M1 a)1. MK AC=T, MKAA 1 =N2. NBA 1 B 1 = D 3. MDBK - искомое сечение 4. MC 1 K – прямоугольный и равнобедренный (MC 1 =C 1 K = 4 ) 5. KMC 1 =45 0 A 1 MN = A 1 N =A 1 M = 2 (из прямоугольного равнобедренного треугольника A 1 NM) 7. A 1 ND~ANB k = A 1 N:AN = 2: Тогда A 1 D:AB = 2:7 A 1 D:DB 1 = 2:5 b) H M 1 D 1 BC – проекция MDBC на плоскость ABC α = KHC (CH BT) 6

7 M K D C1 B A N B1 C D1 M1 5 6 H T KCT: С= 90 0, KC= CT = 1 B C T H A1 Ответ: 7

8 Задача 3. Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD вершиной в точке P. Через точку С и середину ребра AB перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α. a)Докажите, что плоскость α делит ребро BP в отношении 2:1, считая от точки B. b)Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если известно, что PA = 10, AC = 16. Решение. A D C B P M O E N a)Пусть M – середина AB, CMBD = E. Так как PO (ABC) и α(ABC), то IPO. Значит, α (PBD) = NE, NEPO. Сечение NCM –искомое. P O A B C D M E K MBE~KOE OE:BE=OK:MB, OK=OP-KP=½AB-½MB =½MB Таким образом, OE:BE = 1:2 По теореме о пропорциональных отрезках OE:BE = PN:NB. Значит, BN:NP = 2:1. b) Ответ: 8

9 Задача 4. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка K – середина ребра C 1 D 1, точка P- середина ребра AD, точка M – середина ребра CC 1. a)Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K,P,M. b) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 6. Решение. A B CD D1 C1 B1 A1 M P K E N L F a)KM DC = E, KM DD1 =N EP BC = F NP A1D1 = L FMKLP – искомое сечение 9 6

10 A B C D D1 N K M C1 B1 A1 P F H E L b) 1. CH PE (построение), MHPE (по теореме о трех перпендикулярах) α = MHC 2. EMC = KMC1 EC=C1K= ½C1D1 =3 MC1K=ND1K ND1 = MC1 =½DD1=3 ECF~EDP, k = EC:ED = 1:3, CF = PD = 1 ND1L~NDP, k=, D 1 L = 1 ECF: С = 90, СHEF, (метод площадей)

11 A B C D N K M C1 B1 A1 P F H E L L1 K1 Проекция сечения LKMFP на плоскость (ABC) – есть пятиугольник CK1L1PF AB CD L1 P K1 F Ответ: 11

12 Задача 5 Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60. a)Докажите, что существует точка О, одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы). b)Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды. Решение. S H C D M Q P N B A O a)Пусть SN,SP,SQ,SM – апофемы граней ABS, BCS,DCS,ADC соответственно. Тогда по теореме о трех перпендикулярах HN AB, HPBC,HQDC, HMAD, H – проекция вершины пирамиды на плоскость основания. NHS =PHS=QHS =MHS (по катету и острому углу), то HN=HP=HQ=HM, то есть H – точка основания, равноудаленная от всех его сторон (центр вписанной окружности) Плоскости MHS и ADS перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей, значит любой перпендикуляр плоскости MHS к линии пересечения плоскостей, перпендикулярен ADS. Аналогично с остальными парами плоскостей. Возьмем на прямой HS такую точку O, что OH=OT, где OT MS. Имеем, что О равноудалена от всех граней пирамиды, т. е. является центром вписанной сферы. 12 T

13 S H C M P N B O Так как H – центр вписанной окружности в основание пирамиды, то по свойству отрезков касательных (с учетом того, что трапеция равнобедренная) BP=PC=CQ=NB. AM=MD=AN=DQ. b) A D Q A B C D P M QN H 12 Высота трапеции M H S 60 O T MS = 2MH Ответ:

14 Задача 6. Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60. a)Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы). b)Найдите объем данной пирамиды. Решение. S A B C D H M a) Так как каждое ребро пирамиды наклонено под одним углом к основанию, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности вокруг основания. Это следует из равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу) с общим катетом SH и гипотенузами – ребрами пирамиды. Все точки прямой SH равноудалены от вершин основания. Поэтому достаточно выбрать такую точку M на прямой SH, что, например, SM=MA. Итак, M – центр описанной сферы около пирамиды SABCD b) Трапеция ABCD – равнобедренная, так как вокруг нее можно описать окружность 14

15 S A B D H M A BC D H KL 79 9 arccos0,6 ABK: cosA =AK:AB; 0,6 = 9:AB; AB = 15 BDK: Окружность, описанная около трапеции ABCD – окружность, описанная около ABD По теореме синусов радиус R =AH = ASH: 60 Ответ: 15 C

16 Задача 7 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известно, что AB =8, BC = 6, косинус угла между прямыми BD и AC 1 равен 0,14. a)Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B и D параллельно прямой AC 1. b)Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью. Решение. AB C D O K C1 B1 D1 A1 8 6 a) BD AC = O, OK AC 1 BKD – искомое сечение OK AC 1 ( AC 1 ;BD) = (OK;BD) Меньшим углом при пересечении прямых BD,OK будет KOB (угол KOD – тупой (|DK|>|BC|)) cos ( AC 1 ;BD)= cos KOB = 0,14 16

17 AB C D O K C1 B1 D1 A1 8 6 b) H CH BD KH BD (по теореме о трех перпендикулярах) DCB: С = 90, CH -высота ( метод площадей) COH: H = 90 KOH: H =90, cosα=0,14 α OKC: С = 90, Ответ: 17

18 Задача 8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = BC = 8, BB 1 =6. Точка K- середина BB 1,точка P - середина C 1 D 1. Найдите: a)Площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD 1 ; b)Объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью. Решение. A B C D C1 D1 B1 A1 K P EL a)Плоскость сечения пересечет плоскость BD 1 B 1 (в которой лежит BD 1 ) по прямой (содержащей точку K), параллельной BD 1, так как BD 1 по условию параллельна плоскости сечения. KEBD 1, E- середина B 1 D 1. PEA 1 B 1 =L. Соединяем LK Проводим в плоскости DCC 1 через точку P прямую, параллельную LK (параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). T LPTK – искомое сечение. LPTK –прямоугольник, так как LP A 1 D 1 (P – середина D 1 C 1 по условию, E – центр A 1 B 1 C 1 D 1 ), A 1 D 1 AA 1 B 1, то есть A 1 D 1 LK. LP = 8, PT = 18

19 A B C D C1 D1 B1 K P EL T b) Ответ: a) 40; b)

20 Задача 9. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 a)Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A и C параллельно прямой BD 1 b)Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость. Решение. AB C D L M B1 C1 D1 A1 a) AC BD = L LM BD 1, M – середина DD 1 AMC - искомое сечение b) Построенное сечение отсекает от прямоугольного параллелепипеда пирамиду ACDM Ответ: 11 20

21 Задача 10 В правильной треугольной пирамиде PABC M – точка пересечения медиан грани PBC. a)Докажите, что прямая AM делит высоту PO пирамиды в отношении 3:1, считая от точки P. b)Найдите объем многогранника с вершинами в точках A, B, M, P, если известно, что AB = 12, PC = 10. Решение. A B C P O M Q F E a) MF PO MQ: PM = FQ: OF (теорема о пропорциональных отрезках) PM: MQ = 2:1 (свойство медиан) FQ:OF = 1:2, OQ = 3FQ = ½AO, FQ =1/6 AO,OF = AO, AF = 4/3AO AEO~ AMF, AO:AF = OE : MF, OE = 3/4MF MQF~PQO, MF:PO = FQ: OQ = 1:3, MF =PO OE = ¾ MF =1/4PO PE: EO = 3:1 21

22 C P O M Q F E b) B A ABQ: Q =90, B =60, AB =12 AQ = APO: O= 90, Ответ: 22

23 Задача 11 В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна. Через точки B и С перпендикулярно ребру PA проведена плоскость α. a)Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2:3. b)Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α. Решение. A B C P K M a) BC α, WAP, WAP = K, PKα, AKα A P B K H 10 23

24 A B P K M 10 C b) BKM: M = 90 Ответ: 24

25 Задача 12. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 5. На его ребре BB 1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C 1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD 1 a)Докажите, что A 1 P:PB 1 = 1: 2, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A 1 B 1 b)Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α. Решение. AB C D M B1 C1 D1 A1 K E P a) В плоскости DD 1 B 1 через точку K проведём прямую EK BD 1, E D 1 B 1 В плоскости A 1 D 1 C 1 : C 1 EA 1 B 1 = P Плоскость PC 1 K BD 1 по признаку параллельности прямой и плоскости EB 1 K~D 1 B 1 B EB 1 : D 1 B 1 = B 1 K: B 1 B = 2: 5 Значит, EB 1 : D 1 E= = 2: 3 PEB 1 ~C 1 ED 1 PB 1 :C 1 D 1 =EB 1 : D 1 E = 2: 3 C 1 D 1 = A 1 B 1, значит, PB 1 :C 1 D 1 = PB 1 :A 1 B 1 = 2:3 Таким образом, A 1 P: PB 1 = 1:

26 AB C D M B1 C1 D1 K E P b) B 1 K = 2 Ответ: 26 A

27 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 1. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N середин рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания отношении 5:1, считая от точки C. Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью α. 2. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=5. Через точки K и C1 проведена плоскость α параллельная прямой BD1. а) Докажите, что A1P:PB1=4:1, где P точка пересечения плоскости α с ребром A1B1. б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α. 3. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α 27

28 Спасибо за сотрудничество! 28