Площадь квадрата Презентация по геометрии ученицы 8 «В» класса Жиряковой Марии. - презентация

1 Площадь квадрата Презентация по геометрии ученицы 8 «В» класса Жиряковой Марии.

2 Площадь численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

3 Аксиомы площади Площадь единичного квадрата равна 1. Площадь аддитивна. Площадь неотрицательна. аддитивность площади означает, что площадь целого равен сумме …составляющих его частей.

4 Докажем, что площадь квадрата со стороной а равна а 2. 1 случай. а=1/n, где n- нат.число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов, как на рисунке. Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата...

5 Сторона каждого маленького квадрата равна…, т.е. равна а. Итак, S= 1/n 2 = (1/n) 2 =a 2 (1) Случай 2. Пусть теперь а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой, так же число а может быть целым, и тогда n=0. Тогда число квадратиков на каждой стороне m=а*10 n. Разобьем данный квадрат со стороной а на m 2 равных квадратов, как на рисунке.

6 При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна а/m=a/a*10 n =1/10 n По формуле(1) площадь маленького квадрата равна (1/10 n ) 2.

7 Следовательно, площадь данного квадрата равна m 2 * (1/10 n ) 2 =(m/10 n ) 2 = (a*10 n /10 n ) 2 = a 2. Пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а n, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с(n+1)-го. Так как число а отличается от а n не более чем на 1/10 n, то а n а а n + 1/10 n, откуда а n 2 а 2 (а n + 1/10 n ) 2. (2)

8 Площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной а n и площадью квадрата со стороной а n + 1/10 n а n 2 S (а n + 1/10 n ) 2 (3) а а n + 1/10 n аnаn

9 Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10 n, будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (а n + 1/10 n ) 2 будет сколь угодно мало отличаться от числа а n 2. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а 2. Следовательно, эти числа равны: S= а 2, Ч.Т.Д.

10 Теорема Пифагора. Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

11 Формулировки Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

12 Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

13 Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника. Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a 2 + b 2 = c 2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

14 Доказательства По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.