Проблема: повышение эффективности усвоения школьного курса математики. - презентация

1

2 Проблема: повышение эффективности усвоения школьного курса математики

3 Пути решения: использование достижений педагогической психологии Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина

4 Теория Гальперина – основа существенного повышения эффективности преподавания математики

5 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОЭТАПНОГО ФОРМИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

6 Лев Семенович Выготский и Алексей Николаевич Леонтьев установили, что материал усваивается лишь в ходе собственной работы ученика При этом: Задача учителя – правильно организовать эту работу. Каждой порции знаний строго определенная работа

7 Условия, при которых ученик будет действовать так, «как надо», и неизбежно придет к заранее намеченным результатам: Три этапа организации усвоения 1.Ориентировка в материале и способах работы с ним: 1.) определение порции материала для усвоения; 2.) способы работы с материалом ( схемы, алгоритмы); 3.) решение задач по схеме -без заучивания -без ошибок образцы подробных записей

8 2. Организация пошагового контроля в ходе решения задач: 1.)решение задач + подробные записи по образцу; 2.)индивидуальная помощь 3. Постепенный переход от пошагового контроля к самоконтролю: 1.) самостоятельная работа с новым материалом; 2.) решение задач по-новому ( переход к более краткой записи решения); 3.) переход к обычным записям решения; 4.) контроль по конечному результату.

9 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЭТАПНОГО ФОРМИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

10 5 класс «Правило деления десятичной дроби на целое число» Ученики должны понять - суть правила - как его использовать 1этап (ориентировки) осмысление: 1) дели как натуральные; 2) целая часть кончилась, ставь «запятую»; 3) продолжи деление

11 Устраним «неточности» правила деления ( сделаем правило более рабочим ) _31,2 3 СХЕМА 3 10,4 _ 1 0__ _ «Снес цифру в разряде десятых – ставь запятую!»

12 11 класс «Решение показательных уравнений и неравенств» Показательные уравнения Если а х = а с, то х =с а < 0 а 1 Показательные неравенства при а >1 у = а х при 0 < а < 1

13 6 класс «Правила отыскания НОД и НОК двух чисел» 1 этап. Ориентировка. ВАЖНО: знакомить одновременно

14 НОД (12;18)= НОД этих чисел – это число а, на которое можно: -разделить нацело эти числа -или сократить дробь = = = = НОД (12;18) = 2 3 = 6 НОК (12;18)= Надо найти такое число а, которое: -делится нацело на 12 -делится нацело на = = Это число должно содержать все простые множители чисел 12 и 18 НОК (12,13) = =36

15 Правило НОД(а;в) надо: 1) разложить а и в на простые множители; 2) одинаково выделить одни и те же простые множители; 3) найти произведение выделенных простых множителей Правило НОК(а;в) надо: 1) разложить а и в на простые множители; 2) одинаково выделить одни и те же простые множители; 3) записать произведение простых множителей одного из чисел; 4) приписать к этому произведению все недостающие множители второго числа

16 Схема-ориентировка при одновременном изучении Отыскание НОД (12,18) НОК (12,18) 1) 12 = = ) НОД (12,18) = НОК (12,18) = 2 3 = = 36

17 ЭФФЕКТИВНОЕ УСВОЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В определениях видовые отличия соединены союзами «и», «или» РАСПОЗНАВАНИЕ определение наличия всех свойств, указанных в определениях

18 1этап. Ориентировка. 1.) представление определения в краткой схематической форме (конспект) КОНСПЕКТ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (из какого (видовые отличия) множества выделен) термин родовое понятиесвойства ТЕРМИН РОДОВОЕ ПОНЯТИЕ И ВИДОВЫЕ ОТЛИЧИЯ

19 Пример 1 ( 8 класс, геометрия) АВСD – параллелограмм 1.) АВСD - четырехугольник 2.) АВ || CD 3.) ВС || AD Пример 2 с а в ас и bс – 1.) с – общая смежные 2.) а и b– дополнительные лучи

20 2 этап. Пошаговый контроль при распознавании определенного объекта примерыраспознавание а) М = трапеция HEFQ ( EF и HQ – основания) Е F H Q 1.) HEFQ –четырехугольник 2.) EF || HQ (т.к. основания) 3.) EH не параллельна FQвывод: HEFQ - не параллелограмм M

21 б) N - правильный восьмиугольник B C A D L E K F 1.) ABCDEFKL – не четырехугольник вывод: N - не параллелограмм в) F – квадрат N P M Q 1.) MNPQ – четырехугольник 2.) NP || MQ 3.) MN || PQ вывод: MNPQ – параллелограмм N F

22 3 этап. При переходе к самоконтролю: можно вместо подробных пояснений ставить «+» и «-» Пример 3 ( 7 класс, алгебра) Неравенства а b1.) a и b - числа 2.) a < b или a = b Самоконтроль – подробные записи можно заменить знаками «+» и «-»

23 Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь1.) 1: b равных частей b2.) взято а таких частей Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь 1.) 1: b равных частей b 2.) взято а таких частей Пример 5 ( 8 класс, алгебра) а = 1 1.) а 0 2.) а 1 или а = х 1.) а 0 2.) а 1 3.) х 1 ( b – 7,23) = 1 означает : 1.) b 7,23 2.) b 8,23 Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь1.) 1: b равных частей b2.) взято а таких частей Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь 1.) 1: b равных частей b 2.) взято а таких частей Пример 5 ( 8 класс, алгебра) а = 1 1.) а 0 2.) а 1 или а = х 1.) а 0 2.) а 1 3.) х 1 ( b – 7,23) = 1 означает : 1.) b 7,23 2.) b 8,23

24 ЭФФЕКТИВНОЕ УСВОЕНИЕ ФОРМУЛИРОВОК И ТЕОРЕМ ЭФФЕКТИВНОЕ УСВОЕНИЕ ФОРМУЛИРОВОК И ТЕОРЕМ Если….., то….. (условие) (заключение) Дано: Доказать: Пример 1 Теорема Пифагора Этап 1.Ориентировка ( АВС ( С = 90 )) (АВ =АС + ВС ) Этап 2. Пошаговый контроль: 1) установление в треугольнике прямого угла; 2 2) вывод: применить теорему Пифагора можно. Этап 3. Самоконтроль: 1) запись прямого угла; 2) запись соотношения сторон (по теореме )

25 Пример 2 Формулировка первого признака равенства треугольников Этап 1. Ориентировка 1), 2) АВ = А В 3) АС = А С АВС = А В С 4) А = А Задача: Можно ли воспользоваться первым признаком равенства треугольников, чтобы установить равенство МКО и РЕА, у которых МК = ЕА, КО = РЕ, М = Е ? Этап 2. Пошаговый контроль : 1) два треугольника 2) МК = ЕА 3) КО = РЕ 4) между МК и КО лежит К между ЕА и РЕ лежит Е о равенстве К и Е ничего не сказано Вывод: первым признаком равенства треугольников воспользоваться нельзя.

26 Этап 3. Самоконтроль: 1) + 2) + 3) + 4) ? Вывод: воспользоваться первым признаком треугольников нельзя. Важно: в контроле за правильностью выполнения каждого шага принимали участие все (голосованием) Пример 3 (5 класс, математика) (а+b)с = ас + bc 1) вычисление 2) упрощение х - 3,12 х Непосредственно законом воспользоваться нельзя.

27 1) Выражение = (300+2) 121 имеет вид (а+b)с, где а = 300, b = 2 с = 121 2) Это выражение можно заменить выражением вида ас + bc = = ) Выражение х – 3, 12х = 1 х + (-3,12 х) имеет вид ас + bc, где а = 1 b = -3,12 с = х 2) Это выражение можно заменить выражением вида (а+b)с (1+(-3,12)) х = -2,12х

28 Пример 4 (7 класс, алгебра ) Формулы сокращённого умножения. Сложность! в записи формулировки конспектов. Использование одних и тех же букв. (а+b) (a-b)=a - b (-2b+3a) (-2b-3a), т.е a=-2b b=3a

29 «Конструирование» обратных противоположных им теорем. Учащиеся должны уметь: 1) записывать обратную теорему; 2) приводить примеры, доказывающие её неверность.

30 ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ. Решение задач Доказательство теорем Процесс творческий Этому надо учить, но невозможно научить! Решение задачи Подумать (как?) Над чем?

31 Пример 1 «Дан параллелограмм АВСD. На его противоположных Сторонах АВ и СD от противоположных вершин А и С отложены равные между собой отрезки, АМ и СN. Доказать, что MBND – параллелограмм. В N С А М D Поиск решения: 1. Из условия ABCD - параллелограмм много информации 1) АВ || CD, BC||AD 2) AB BD, ABC = ADC Дано: ABCD – параллелограмм АМ == CN Доказать: MBND - параллелограмм 3 1 а 2 4

32 2. Какую информацию взять для решения задачи? Обратим внимание на то, что надо доказать MBND – параллелограмм, т.е. доказать МВ || ND и BN || MD Но ! BN || ND, т.к. BC || AD значит надо доказать, что MB||ND воспользуемся признаком параллельности прямых, но там есть секущая. Где её взять ? Проведём диагональ BD Доказать, что 1 = 2 (т.е. накрест лежащие углы) Как ?

33 Рассмотреть и доказать BMD = DNB ( в которые входят 1 и 2) (по первому признаку) BD - общая 3 = 4, т.к. BC||AD, BD – секущая BN = ND, т.к. BC = AD и AM = NC 1 = 2 BM || ND при секущей BD и BN || MD MBDN – параллелограмм (по определению) Пример 2 (7 класс, геометрия) Теорема о сумме углов треугольника. «Сумма внутренних углов треугольника равна 180 » С чего начать доказательство ?

34 величина развёрнутого угла сумма смежных углов В D A 1 C 180

35 Дано: ABC Доказать: А + В + С = 180 Доказательство: 1) DAB – смежный с А 2) DAB + BAC =180, а надо доказать BAC + D + C = 180 т.е. 3) докажем, что DAB = B + C 4) попытаемся DAB разделить на два угла таких, чтобы один равнялся В, а другой - С 5) КМ||ВС, А КМ DAB = ) Развёрнутый DAC = BAC 180 = BAC Ч.Т.Д. Необходимо целенаправленно учить детей: - наращивать цепочки выводов из условий; - «перебору» всех известных совокупностей и свойств.

36 ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Альтернатива решению задач – выявление их математической сути. Моделирование Задача 1 (5 класс, математика) «Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку. Причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик ?» в линейку на 18 тетрадей меньше в клетку из схемы видно: больше складывается из дважды повторённого числа тетрадей в линию. Общее число тетрадей превышает 18 в 2 раза, т.е. 18 *2 = 36 (тетрадей)

37 Задача 2 (нахождение двух чисел по их разности и сумме) «На двух полках стояло равное количество книг. С первой полки сняли 10 книг и поставили на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой ?» Схема Было I II Стало 10 I 10 II на II полке стало на 20 книг больше, чем на I полке

38 Задача 3 «Разные арифметические задачи» «Если в вазы поставить по 5 роз, то 2 розы останутся лишними. А чтобы поставить по 6 роз, то четырёх роз не хватит. Сколько было ваз ?» Схема в вазе не вошли по 5 роз 5 роз 6 роз по 6 роз 4 розы не хватило Ясно: Если в вазы по 5 роз добавить ещё по розе, то в двух вазах будет по лишней розе, а в четырёх вазах по 5 роз, т.к. четырёх роз не хватило, чтобы было по 6 роз, т.е. ваз будет = 6

39 Задача 4 на «движение» «Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся ?» А В 80 км\ч А С В 80 км\ч 60 км\ч

40