02.12.20131 Логарифмы. Зачем изучают логарифмы сегодня? Учитель математики МОУ «Красноуральская СОШ» Даньшина А.В. - презентация

1 Логарифмы. Зачем изучают логарифмы сегодня? Учитель математики МОУ «Красноуральская СОШ» Даньшина А.В.

2 Седьмое математическое действие. Мы все знакомы с основными арифметическими действиями: сложением, вычитанием, умножением и делением. Пятым арифметическим действием является возведение в степень. Возведение в степень имеет два обратных действия: если a b =c, озведение то разыскание а есть одно обратное действие -извлечение корня ; то разыскание а есть одно обратное действие -извлечение корня ; нахождение же b другое, логарифмирование нахождение же b другое, логарифмирование

3 Логарифмы появились в ХVI в. под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Логарифмы появились в ХVI в. под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Так зачем изучают логарифмы сегодня?

4 Из истории логарифмов Изобретение логарифмов в XVII в. тесно связано с развитием в XVI веке производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны быть результаты действий. Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления.

5 Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий возведения в степень и извлечения корня к более простым действиям - умножению и делению, а последних к - самым простым – сложению и вычитанию. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий возведения в степень и извлечения корня к более простым действиям - умножению и делению, а последних к - самым простым – сложению и вычитанию. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

6 Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство таблицы логарифмов, резко повысившее производительность труда вычислителей. Уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых, таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

7 Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером ( ) и швейцарцем И. Бюрги ( ). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90° с шагом в 1 минуту. Дж. Непером ( ) Дж. Непером ( )

8 Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными. Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения логарифмов, была уже известна. Штифель ( ) - и ряд других математиков обратили внимание на то, что умножению и делению членов геометрической прогрессии...,а-3, а-2, а-1,1, а, а2, а3,... соответствуют сложение и вычитание показателей, образующих арифметическую прогрессию..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,....

9 Но одной этой идеи недостаточно. Например, «сеть» целых степеней числа 2 слишком редка; многие числа «остаются без логарифмов», поэтому необходима была еще одна идея: возводить в степень числа, очень близкие к единице. Заметив, что степени (1+1/10n) n и (1+1/10n) n - 1 при больших значениях n близки, Непер и Бюрги приняли аналогичное решение: Непер брал в качестве основания число ( 1 1/107), а Бюрги число ( 1 + 1/104).

10 Таблицы Бюрги.

11 Таблицы Непера.

12 Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету Непера английским математиком Г. Бриггсом ( ). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы

13 Понятие логарифма Определение. Логарифмом числа b по основанию а (где a > 0, a 1) называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b. Логарифмом числа b по основанию а (где a > 0, a 1) называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b. Логарифм числа b по основанию а обозначается символом log a b. 1оg a b = c Если а > 0, а 1, то loga b по определению есть показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b. log a b a = b a = b Поэтому равенство есть тождество, которое называют основным логарифмическим тождеством. Поэтому равенство есть тождество, которое называют основным логарифмическим тождеством.

14 Обозначение. Для обозначения десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10) принята специальная запись: вместо log 10 b, где b произвольное положительное число, пишут lg b. Логарифм по основанию е (е = 2, ) называется натуральным логарифмом и обозначается ln b. Обозначение. Для обозначения десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10) принята специальная запись: вместо log 10 b, где b произвольное положительное число, пишут lg b. Логарифм по основанию е (е = 2, ) называется натуральным логарифмом и обозначается ln b.

15 Свойства. Логарифмы существуют только для положительных чисел, т.е. log a N (где а > 0 и а 1) существует, если N > 0. Логарифмы существуют только для положительных чисел, т.е. log a N (где а > 0 и а 1) существует, если N > 0. При основании а > 1 логарифмы чисел N > 1 положительны, а логарифмы чисел 0 1 логарифмы чисел N > 1 положительны, а логарифмы чисел 0 < N < 1 отрицательны. При основании 0 1 отрицательны, а логарифмы чисел 0 1 отрицательны, а логарифмы чисел 0 < N < 1 положительны. Логарифм единицы по любому основанию (а > 0 и а 1) равен нулю, т.е. log a 1 = 0. Логарифм единицы по любому основанию (а > 0 и а 1) равен нулю, т.е. log a 1 = 0. Логарифм самого основания равен 1, Логарифм самого основания равен 1, т.е. log a a = 1. т.е. log a a = 1. Логарифм единицы делённой на основание равен -1, т.е. log a (1/a) = -1. Логарифм единицы делённой на основание равен -1, т.е. log a (1/a) = -1.

16 Логарифм самого основания, возведённого в степень равен показателю степени, т.е. Логарифм самого основания, возведённого в степень равен показателю степени, т.е. log a a r = r. log a a r = r. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: log a bc = log a b + log a c. log a bc = log a b + log a c. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя: log a b/c = log a b - log a c. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя: log a b/c = log a b - log a c. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: log a a r = r log a b. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: log a a r = r log a b. Переход к новому основанию логарифма: если а, b, с положительные числа, причем а и с отличны от 1, то имеет место равенство log a b = log c b/ log c a. Переход к новому основанию логарифма: если а, b, с положительные числа, причем а и с отличны от 1, то имеет место равенство log a b = log c b/ log c a. Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство log a b = 1/log b a. Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство log a b = 1/log b a.

17 Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. При составлении модели того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.

18 Логарифмическая спираль Логарифмическую спираль можно увидеть на рис.1. Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая. Так почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?

19 Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой.

20 Логарифмы в окружающем мире. Логарифмическая функция возникает в связи с самыми разными природными формами. По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюска Nautilus, Логарифмическая функция возникает в связи с самыми разными природными формами. По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюска Nautilus,

21 рога горного барана рога горного барана А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов закручены по логарифмической спирали.

22 и клювы попугаев. и клювы попугаев.

23 Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития. По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе (рис.4.) семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития. По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе (рис.4.) семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

24 ). Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. И однажды, 18 декабря 1955г. Он вынес его на повестку своего публичного выступления, которое проходило в Париже, в главной аудитории Сорбонны. Сальвадор Дали рассказал о том, что происходило в Сорбонне, в своем дневнике, из которого я привожу небольшие отрывки. «…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Вермера «Кружевница», репродукция которой висела в отцовском кабинете» (рис.6).

25 « Уже много лет спустя я попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Потом я попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной моей копии… Я объяснил, что, пока не написал копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и мне понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые…»

26 Логарифмическая спираль знаменита и своими удивительными свойствами: 1.Она остается неизменной не только при преобразовании подобия, но и при других различных преобразованиях. Это свойство так поразило впервые изучавшего ее Якоба Бернулли (XVII в.), что он был склонен придать им мистический смысл и пожелал иметь на своей могильной плите изображение логарифмической спирали с надписью: «измененная, воскресаю прежней». 2. Логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основании этого ее называют равноугольной. 3.Последнее свойство находит свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

27 Повсеместность такой кривой, а следовательно и логарифмической функции, хорошо иллюстрируется тем, что она возникает в столь далеких и совершенно различных областях, как контур кулачка-эксцентрика и траектория некоторых насекомых, летящих на свет. Повсеместность такой кривой, а следовательно и логарифмической функции, хорошо иллюстрируется тем, что она возникает в столь далеких и совершенно различных областях, как контур кулачка-эксцентрика и траектория некоторых насекомых, летящих на свет.

28 Звезды, шум и логарифмы. Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одина­ковым образом по логарифмической шкале. Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости состав­ляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

29 Сходным образом оценивается и громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практиче­ски его десятая доля, «децибел». Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Дело станет яснее, если рассмотрим несколько примеров. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь в 6,5 бела, рычанье льва в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговор­ная речь превышает шелест листьев в раз; Львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в 158 раз. Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная ческой зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, это следствие общего закона гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

30 Непрерывный рост капитала. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в сберкассу положено 100 руб. под 100% годовых. Во что превратятся 100 рублей, если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода?

31 По истечении полугодия 100 руб. вырастут в 100 руб. · 1,5=150 руб. А еще через полгода в 150 руб.·1,5 = 225 руб. Если присоединение делать каждые года, то по истечении года 100 руб. превратятся в 100 руб.· (1 )3 237 руб. 03 коп. Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т. д. Тогда из 100 руб. спустя год получится: 100 руб.· 1, руб. 37 коп. 100 руб.·1, руб. 48 коп. 100 руб. ·1, руб. 69 коп.

32 Вывод Больше чем в 2,7183 раза капитал, положенный из 100%, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду.

33 Литература: 1. Перельман Я.И. «Занимательная алгебра», 2..Азевич А.И. « Двадцать уроков гармонии»

34 Спасибо за внимание!