Учебный материал Презентацию подготовила : Домбрачева Юлия. Учитель: Н.Н.Кудоспаева. - презентация

1 Учебный материал Презентацию подготовила : Домбрачева Юлия. Учитель: Н.Н.Кудоспаева

2 Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами. И. Ньютон

3 1.Алгебра. Алгебра 2.Задача. Задача. 3.Метод решения задач. Метод решения задач.Метод решения задач. 4.Первые утверждения о тождествах. Первые утверждения о тождествах.Первые утверждения о тождествах.

4 5.Геометрический подход. Геометрический подход.Геометрический подход. 6.Усовершенствование буквенной символики. Усовершенствование буквенной символики.Усовершенствование буквенной символики. 7.Крупные достижения. Крупные достижения.Крупные достижения. 8.Символика Виета. Символика Виета.Символика Виета. 9.Подведем итоги! Подведем итоги!Подведем итоги!

5 Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными ве­ личинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными ве­ личинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

6 задача Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих млад­ших братьев? Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) + (6 + х) откуда х = 4.Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих млад­ших братьев? Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) + (6 + х) откуда х = 4.

7 Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям пер­вой степени с одним неизвестным, как в зада­че о возрасте братьев, но и задачи, приводя­щие к уравнениям вида ах2 = b.Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям пер­вой степени с одним неизвестным, как в зада­че о возрасте братьев, но и задачи, приводя­щие к уравнениям вида ах2 = b.

8 Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне; в математических текстах, выпол­ненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения типовых задач, из которых решения аналогичных задач полу­чались заменой числовых данных.Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне; в математических текстах, выпол­ненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения типовых задач, из которых решения аналогичных задач полу­чались заменой числовых данных.

9 В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и а/х.В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и а/х.

10 Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел–как объем прямоугольного параллелепипеда.Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел–как объем прямоугольного параллелепипеда.

11 Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины квадрат числа (т. е. произведение величины на самое себя), куб числа, среднее геометрическое.Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины квадрат числа (т. е. произведение величины на самое себя), куб числа, среднее геометрическое.

12 Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

13 Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой. Но не все задачи поддавались такому решению. Например, не решались задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника. Они приводили к кубическим уравнениям вида х3 = 2, 4х3 - Зх = а и х3 + х2 - 2х - 1 = 0 соответственно.Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой. Но не все задачи поддавались такому решению. Например, не решались задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника. Они приводили к кубическим уравнениям вида х3 = 2, 4х3 - Зх = а и х3 + х2 - 2х - 1 = 0 соответственно.

14 Для решений этих задач был разработан новый метод, связанный с отысканием точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).Для решений этих задач был разработан новый метод, связанный с отысканием точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).

15 Геометрический подход к алгебраическим проблемам сковывал дальнейшее развитие науки, так как, например, нельзя было складывать величины разных размерностей (длины и площади или площади и объемы), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д.Геометрический подход к алгебраическим проблемам сковывал дальнейшее развитие науки, так как, например, нельзя было складывать величины разных размерностей (длины и площади или площади и объемы), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д.

16 Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге Арифметика появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел.Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге Арифметика появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел.

17 На дальнейшее развитие алгебры сильное влияние оказали разобранные Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где число уравнений было меньше числа неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.

18 С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.

19 Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в. узбекский ма­тематик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат Китаб аль-джебр валь-мукабала, где дал общие правила для решения уравнений первой степени.

20 Слово «алъ-джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.Слово «алъ-джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.

21 В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок – после 1228). Его Книга абака (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительноВ Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок – после 1228). Его Книга абака (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно

22 Первым крупным самостоятельным достижением западноевропей­ских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это бы­ло заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени.Первым крупным самостоятельным достижением западноевропей­ских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это бы­ло заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени.

23 Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к от­крытию комплексных чисел. Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходи­лось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет ввел буквенные обозначения не только для не­ известных, но и для произвольных по­ стоянных.

24 Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.

25 Постепенно расширялся запас чисел, с ко­торыми можно было производить действия. Завоевывали права гражданства отрица­тельные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу.Постепенно расширялся запас чисел, с ко­торыми можно было производить действия. Завоевывали права гражданства отрица­тельные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу.

26 Подведем итоги! В наши дни алгебра - одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.