Геометрия треугольника Соловьёва Валерия 7 «б» Шаганц Алина 7 «б»

Определение Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. А В С

Виды треугольников В зависимости от углов: остроугольный прямоугольный тупоугольный В зависимости от сторон: разносторонний равносторонний равнобедренный

Высота треугольника Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называют перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Свойства высот Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым проведены.

Биссектриса треугольника Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с противолежащей стороной.

Свойства биссектрис Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке- центре вписанной окружности. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. А В Д С

Свойства биссектрис Биссектриса треугольника делит его площадь в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам. АВ С Д

Свойства биссектрис Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего углов треугольника перпендикулярны. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то BD 1 /D 1 C=AB/AC. Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию. B A E DCD1D1

Длина биссектрисы ВС А в с а в 1 в 1 с 1 с 1 LaLa

Медианы Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. AD- медиана треугольника ВАС. В С А D

Свойства медиан: 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. АМ : АМ 1 = ВМ : МВ 1 = СМ : МС 1 = 2:1. Точка М- точка пересечения медиан треугольника- называется его центроидом ( центром масс ). В С1 А1 А В1 С M

2. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. S ΔBDA =S ΔBDC A B C D

3. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. S АLK = SKLВ = S ВLM = SMLС = S СLQ = SQLА AC B K M Q L

Длина медианы mama a c b

Теоремы Чевы и Менелая Теорема Чевы Пусть точки M, Q и K Если верно на сторонах BC, AC равенство и AB ΔABC. Если отрезки то отрезки AM, BQ и CK пересекаются в одной точке, то одной точке. B Q AC O M K

Теорема Менелая Пусть прямая пересекает Пусть дан ΔABC. произвольный ΔABC, причем Если точка N лежит N – точка её пересечения со на стороне AB, точка стороной AB, L на стороне BC, L – точка её пересечения со а точка G на стороной BC и продолжении стороны G – точка её AC и верно равенство пересечения с продолжением стороны AC. Тогда верно равенство. то эти точки L, G и N лежат на одной. A B N L C G

Площадь треугольника, h a – высота, проведенная к стороне a., C – угол между сторонами a и b. Формула Герона, где p – полупериметр,, a, b и c - стороны, a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности, где полупериметр,r – радиус вписанной окружности где h a, h b, h c – высота. a haha CB A b a c b a c hchc haha hchc c r b a b R a c S=1|2 аbsinC

Старинные задачи Задача Египта. Условие. При вычислении площади равнобедренного треугольника египтяне брали половину произведения основания на боковую сторону. Вычислить в процентах, как велика ошибка, если основание равнобедренного треугольника равно 4, а боковая сторона- 10. Решение. По египетскому способу, где a- основание, b- боковая сторона равнобедренного треугольника. Обозначив высоту треугольника через h, найдём Точное значение площади выразится формулой откуда т.е. ошибка не больше 2%.

Задача Евклида (Из трактата Начала) Условие. На данной конечной прямой AB построить равносторонний треугольник. Решение. Приняв А за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр, опишем другую окружность тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружностей через С и соединив её прямыми А и В, получим треугольник АВС, который, как легко проверить, и есть искомый. AB C A D E H B C

Задачи Герона Условие. 1. Определить площадь треугольника, если даны три его стороны: a=13, b=14, c=15. Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле Древнегреческий ученый Герон Александрийский жил около I в. О его жизни до нас дошла лишь отрывочные сведения. Известно, что он был выдающимся ученым-инженером, занимался вопросами геодезии. Герону принадлежит математический трактат «Метрика», где он дал правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней, а в геометрическом отделе – формулы приближенных расчетов разных геометрических фигур (площадей и объемов), где, между прочим, приводится и и знаменитая формула для вычисления площади треугольника по его сторонам.

Условие. 2. Найти треугольники с целочисленными площадями (треугольники Герона), длины сторон которых являются последовательными числами. Решение. Обозначим стороны искомого треугольника через x – 1, x, x +1. Тогда площадь SΔ найдется по формуле Герона: Для рассматриваемой задачи Где - целое число. Тогда где m 2 -1=3n 2 – целое число; SΔ=3mn – целое число; m 2 -3n 2 =1; (1) Последнее равенство выполняется при m=2 и n=1: откуда (2) при p=1, 2, 3, … Из равенств (1) И (2) вытекает откуда Из полученной формулы будем иметь: при p=1 x 1 =4, S Δ =6; при P=2 x 2 =14, S Δ =84; при p=3 x 3 =52, S Δ =1170; при p=4 x 4 194, S Δ =16296 и т.д.

Решение задач 1. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке D.Через точку D проведена прямая параллельно АС, пересекающая гипотенузу АВ в точке Е.Определить АС, если АЕ=15 см и CD=12 см. Решение. EDA=CAD- как накрест лежащие углы при параллельных прямых ED, AC и секущей ADEDA=EAD, значит треугольник EAD равнобедренный (по признаку), поэтому АЕ=ED=15 см. Опустим перпендикуляр ЕО на сторону АС. ОС=ED=15 см. Найдём АО, по теореме Пифагора. АО=, АС= АО+ОС=15+9=24(см). А Е СD B O

Решение задач 2. В треугольнике АВС медиана ВМ и биссектриса АЕ пересекаются в точке О.Через точку О проведена прямая, параллельная АС и пересекающая АВ в точке Н и ВС в точке К.Определить АВ и ВС, если АН=12 см,АС=40 см и КС=14 см. Решение. НОА=ОАМ- как накрест лежащие углы при параллельных прямых НК, АМ и секущей АОНОА=НАО, значит треугольник НАО равнобедренный (по признаку),поэтому НО=АН=12 см. Треугольник НВО подобен треугольнику АВМ по 2-м углам. 20ВН=12ВН+1448ВН=144ВН=18 АВ=АН+ВН=18+12=30(см). А Н В О Е К СМ С

Список литературы. 1. Рыбакова Т.Л., Суслова И.В. Математика. Школьный справочник. Ярославль: « Академия развития», 1997 год. 2. Парахневич В.А., Парахневич Е.В. Сборник задач по геометрии классы. Минск: «Народная асвета», 1972 год. 3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, часть 1- Москва: Наука, главная редакция физико- математической литературы, 1986 год. 4. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Издание третье, исправленное, Минск: «Вышэйшая школа»,1978 год.