Далее Выход Презентация разработки урока на конкурс «Лучший учебный план с использованием ресурсов Учебного Интернет-Центра» Урок ознакомления Алгебра 8 класс Алгебра 8 класс. Разработана учителем математики МОУ СОШ5 Цукановой Зоей Ивановной. Разработана учителем математики МОУ СОШ5 Цукановой Зоей Ивановной.

Выработать умение решать квадратные уравнения и уметь их применять. Изучение материала начинается с решения неполных квадратных уравнений различного вида. Основное внимание уделяется формированию у учащихся умения решать квадратные уравнения с использованием формулы корней. Познакомить учащихся с историей квадратных уравнений. Далее Назад

Далее Целью урока является решение следующих задач: - образовательные: обработка способов решения квадратного уравнения, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения; - развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, обще-учебных умений, умение сравнивать и обобщать. - воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, воспитание чувства ответственности перед товарищами, умение контролировать свои действия. Для осуществления поставленных на урок задач выбраны следующие методы и формы обучения: Методы - наглядный, словесный, частично-поисковый; Формы - обще классная, индивидуальная, групповая. Назад

Далее Назад маркеры; маркеры; иллюстрированный раздаточный материал; иллюстрированный раздаточный материал; таблицы. таблицы. презентации; презентации; электронные ресурсы; электронные ресурсы; бумага; бумага;

Тема урока: Урок ознакомления по теме « Квадратные уравнения» Эпиграф урока: « Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умение» Требования государственного стандарта: На этом занятии даются знания различных способов решения квадратных уравнений. Учащиеся должны уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Назад Далее

Азбука квадратного уравнения

Квадратным уравнением - называется уравнение вида ах 2 +вх+с=0,где х-переменная, а,в,с-некоторые числа, причем а 0. Числа а,в,с – коэффициенты уравнения. Число а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, число с – свободный член. Квадратные уравнения бывают Полные Неполные

Неполные квадратные уравнения Если в квадратном уравнении один из коэффициентов В или С равен 0,или В=С=0,то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Неполные Квадратные уравнения С=0 ax 2 +bx=0 B=0 ax 2 +c=0 B=C=0 ax 2 =0

Е СЛИ С=0 ax 2 +bx=0 X(ax+b)=0 X=0 или х=- в/а Пример: 18 х²+27 х=0 9 х(2 х+3)=0 9 х=0 или 2 х+3=0 Х=0 или х=-1,5

Если В=0 ах 2 +с=0 х 2 =-с:а, -с:а>0 2 корня Пример: 4 х =0 4 х 2 =100 х² = 25 х 1 =5,х 2 =-5

Если В=0 и С=0 ах 2 =0 х=0 Примеры: а) 157 х 2 =0, х=0 б) -298 х 2 =0, х=0 в) 53,7 х 2 =0, х=0

Полные квадратные уравнения -это уравнения,у которых все три коэффициента отличны от 0. Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называются приведенными квадратными уравнениями. х 2 +вх+с=0,а#0 Примеры. 3 х 2 -7 х+4=0, 5 х 2 +2=11 х, 0,7 х 2 =1,3 х+2, х 2 -8 х+15=0 ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Алгоритм решения квадратного уравнения: ах²+вх+с=0 Определить коэффициенты а,в,с Если D<0, то Вычислить дискриминант D=в²-4 ас Если D=0, то 2 корня Если D>0, то 1 корень Уравнение не имеет корней

D < 0 D < 0 Корней нет D = 0 D > 0

b = 2k (четное число)

Примеры квадратных уравнений: Например: а) –х²+6 х+1,2=0, где а=-1, в=6, с=1,2; б) 5 х²-2=0 – неполное квадратное уравнение, где а=5, в=0, с=-2; в) -3 х²+7 х=0 - неполное квадратное уравнение, где а=-3, в=7, с=0; г) 7 х²=0 - неполное квадратное уравнение, где а=7, в=0, с=0; д) х²+4 х-12=0 – приведенное квадратное уравнение, где а=1, в=4, с=-12.

Примеры решения квадратных уравнений по формуле Пример 1: 3 х²+11 х+6=0 а=3; в=11;с=6. D=11²-4·36=121-72=49>0 – уравнение имеет 2 корня

Примеры решения квадратных уравнений по формуле: Пример 2. 9 х²-6 х+1=0 а=9; в=-6;с=1. D=(-6)²-49·1=36-36=0=0 – уравнение имеет 1 корень. Или D = 9 - 1·9 = 0 Х = 3:9 =1/3.

Примеры решения квадратных уравнений по формуле: Пример 3: -2 х²+3 х-5=0 а=-2; в=3;с=-5. D=3²-4·(-2)5=9-40=-31<0 – уравнение не имеет корней.

Теорема ВИЕТА Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену. x 2 +px+q=0 х 1 +х 2 =-р и х 1 х 2 =q ПРИМЕР: Х 2 +2Х-15=0, Х 1 +Х 2 =-2, Х 1 Х 2 = - 15 Х 1 =-5,Х 2 =3.

Теорема Виета x 1 и х 2 – корни уравнения

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.).Брахмагупте Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации.ал-Хорезми Из истории решения квадратных уравнений.

Диофант Александрийский (около 3 в.). Древнегреческий математик. В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13), дал решение задач, приводящихся к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

Пригласительный билет Уравнениеabcb 2 - 4acx1x1 x2x2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 - 7x + 12 = x 2 = 15x

Пригласительный билет Уравнениеabcb 2 - 4acx1x1 x2x2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 - 7x + 12 = x 2 - 7x - 6 = ,61,4-1,2 5x 2 = 15x x =

«Золотые мысли» Ян Амос Коменский ( ), чешский педагог, писатель.

Домашнее задание: 515, а) б) 518 а), б), д). Выучить все записи в тетради. Учебник : п 21, п 22, - выучить формулы и правила.

Тест Тест 1. Установить, истинны или ложны утверждения.Тест 1. Установить, истинны или ложны утверждения. Тест 2. Установить верный ответ из числа предложенных.Тест 2. Установить верный ответ из числа предложенных.

Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения : Ответы давать : да или нет. Время для выполнения – 10 минут. Указание: не выполнять задания 8 и 9. Текст теста:

Тест 2. Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов: Время для выполнения – 15 минут. Указание: не выполнять задания 6 и 7. Текст теста:

Кроссворд 1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2. Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме

Это интересно (дополнительные сведения о нахождении корней квадратного уравнения в особых случаях): 1 случай. Если a+b+c=0, то х 1=1; х 2= с/а 2 случай. Если a-b+c=0, то х 1=-1; х 2= - с/а Нахождение корней приведенного квадратного уравнения: х²+px+q=0. здесь полезно воспользоваться формулой: Формула запоминается надолго, если выучить ее в стихотворной форме:стихотворной форме

Стихотворение для запоминания формулы «Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минут-плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

Из истории решения квадратных уравнений. Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Например. Евклид Например.

Вывод формулы корней квадратного уравнения ал- Хорезми: Суть его рассуждений видна из рисунка (рассматривается решение уравнения х²+10 х=39. Площадь большого квадрата равна (х+5)². Она складывается из площади х²+10 х фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом, (х+5)²=39+25; х 1=3; х 2=-13. х²х² 5 х/2

Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»(примерно II в.до н.э.) «Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу(1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Решение смотри здесь:

Решение задачи о границах города: Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников BED и ABC (см.рис.) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d. Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х 2+(k+l)-2kd=0. В данном случае уравнение имеет вид х 2+34 х-71000=0, откуда х=25000 бу. Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами. l В АС ЕД х d

Проверь себя ( решение задачи при помощи языка программирования): Программа, позволяющая решать квадратные уравнения (язык Turbo Pascal)

Использованная литература: Алтынов П.А. Тесты. Алгебра.7-9 – Москва, «Дрофа», 2002 год Макарычев Ю.Н. Алгебра, 8 класс – Москва, «Просвещение», 2000 год Ткачева М.В. Домашняя математика, 8 класс- Москва, «Просвещение», 1996 год Худадатова С.С. Математика в ребусах, кроссвордах – Москва, «Школьная Пресса», 2003 год Энциклопедический словарь юного математика –Москва, «Педагогика», 1985 год Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» - Москва, АСТ, 1996 год.

Брахмагупт(около г.г.) Индийский математик и астроном. Основное сочинение «Усовершенствованное учение Брахмы» («Брахмаспхутасиддханта», 628 г.), значительная часть которого посвящена арифметике и алгебре. Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Евклид (3 в. До н.э.) Древнегреческий математик, работал в Александрии. Лавный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

Аль-Хорезми. Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов - Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида). Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит "Ильм аль-джебр ва"ль-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем - это "синус", хотя в этом деле не обошлось без курьеза. В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах 2. Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно,не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Ответы к кроссворду: 1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

Ответы к тесту 1. Вариант 1. 1,2,3,4,10-да; 5,6,7 – нет. Вариант 2. 1,3,4,10 – да; 2,5,6,7 - нет

Ответ к тесту 2. Вариант г, 2-г, 3 - г, 4 -б, 5 -г. Вариант в, 2- б, 3 - в, 4 - б, 5 - б.