Дифференцирование показательной и логарифмической функции Составитель: учитель математики МОУ СОШ 203 ХЭЦ г. Новосибирск Видутова Т. В.

Число е. Функция y = e x, её свойства, график, дифференцирование

Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)

1)Все графики проходят через точку (0 ; 1); 2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0 при х; 3) Все они обращены выпуклостью вниз; 4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол, который образует касательная с осью х

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y=а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 0 до 66,5 0. Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35 0, при а = 3 он равен 48 0.

В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е. Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь: е = 2, … ; На практике обычно полагают, что е 2,7. Год рождения Л.Н.Толстого 1828

График и свойства функции y = е x : 1) D (f) = ( - ; + ); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает; 4) не ограничена сверху, ограничена снизу 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6) непрерывна; 7) E (f) = ( 0; + ); 8) выпукла вниз; 9) дифференцируема. Функцию y = е x называют экспонентой.

В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х: (e x ) = e x (е 5 х )' = 5 е 5 х (е -4 х+1 )' = -4 е -4 х-1 (е х-3 )' = е х-3

Пример 1. Провести касательную к графику функции в точке x=1. Решение: 1) =1 2) f( )=f(1)=e 3) 4) y=e+e(x-1); y = ex Ответ: y=ex

Пример 2 Пример 2. Вычислить значение производной функции в точке x = 3. Решение: Ответ: 4

Пример 3 Пример 3. Исследовать на экстремум функцию Решение: 1)1) 2) х=0 и х=-2

3) -2 x ) х = -2 – точка максимума х = 0 – точка минимума Ответ: