Зачем в школе изучают логарифмы? Логарифмы в искусстве

Вступление Основные свойства логарифмов позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления. И даже помогают писать картины и играть музыкальные произведения и сейчас мы это вам докажем.

Определение логарифма Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a1,называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b; таким образом a loga b =b

Логарифмы в музыке Музыканты редко увлекаются математикой; большинство их, питая к этой науке чувство уважения, предпочитает держаться от неё подальше. Между тем музыканты – даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, «алгеброй гармонию», соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с таким страшными вещами, как логарифмы.

Приведем по этому поводу отрывок из статьи покойного физика профессора А. Эйхенвальда. «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. «Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой»

Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах… И действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам воли соответствующих звуков, а представляют логарифмы этих величин. Только основание их равно 2, а не 10,как принято в других случаях.

Положим, что нота do самой низкой октавы – будем её называть нулевой октавой – определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будем делать в секунду 2n колебаний а m-й октавы колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждый октавы за нулевой; тогда, например, тон sol,будет 7-й, la, будет 9-й и т.д. 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Положим, что нота do самой низкой октавы – будем её называть нулевой октавой – определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будем делать в секунду 2n колебаний а m-й октавы n х 2 m колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждый октавы за нулевой; тогда, например, тон sol,будет 7-й, la, будет 9-й и т.д. 12-й тон будет опять do, только октавой выше.

Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий, тон имеет в ¹²2 большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой N pm = n x 2 m ( ) p

Логарифмируя эту формулу, получаем Или А принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n=1) и переводя все логарифмы к основанию равному 2 имеем

Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы числе колебаний соответствующих звуков. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве – мантиссу этого логарифма».

Например, - поясним от себя, - в тоне sol третьей октаве, т.е. в числе 3 + 7/12 (3,583), число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, а 7/12(0,583) – мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в, т.е. в 11,98, раза больше числа колебаний тона do первой октавы.

Логарифмы в живописи Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали: «…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью стала картина Вермера «Кружевница», репродукция которой висела в отцовском кабинете. Став постарше, я попросил в Лувре разрешения написать копию с этой картины.

Потом я попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной мной копией… Я объяснил, что, пока не написал эту копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и мне понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые…»

И напоследок… Логарифмы окружают нас повсюду: в природе, искусстве, технике, сельском хозяйстве. Поэтому их просто необходимо изучать в школе.

Авторы проекта: Боголь Аня Воронина Оля Денисова Ксюша Дата создания: 30 января 2008 год. Преподаватель: Пивоварова Н. Ю.