БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра уравнений математической физики Ходос Светлана Петровна СИНГУЛЯРНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАДКИХ И РАЗРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ Кандидатская диссертация Руководитель: профессор кафедры уравнений математической физики, доктор физ.-мат. наук ЛОМОВЦЕВ Федор Егорович Минск, 2010 Выход

СОДЕРЖАНИЕ АКТУАЛЬНОСТЬ ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НАУЧНАЯ НОВИЗНА ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ Выход

АКТУАЛЬНОСТЬ В теории уравнений с частными производными особое место занимают вырождающиеся и сингулярные гиперболические уравнения второго порядка. Большинство вырождающихся уравнений сводится к сингулярным. Абстрактной моделью таких уравнений является обобщенное уравнения Эйлера- Пуассона-Дарбу. Нестационарные процессы акустики, вибрации, упругости и т.д. при гладко и резко изменяющимися граничными режимами и их типами моделируются обобщенными ДОУ Эйлера-Пуассона-Дарбу с переменными областями определения гладких и разрывных операторов и сингулярными гиперболическими уравнениями в частных производных с гладкими и разрывными коэффициентами в уравнениях. Выход

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ: Разработка новых технических приемов, обобщающих известный метод энергетических неравенств исследования дифференциально- операторных уравнений с переменными областями определения, на сингулярные гиперболические дифференциально-операторные уравнения Доказательство существования, единственности и устойчивости сильных решений обобщенного ДОУ Эйлера-Пуассона-Дарбу с переменными областями определения гладких и разрывных операторов и сингулярных гиперболических уравнений в частных производных с гладкими и разрывными коэффициентами Выход

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Сингулярные гиперболические дифференциально-операторные уравнения с переменными областями определения Выход

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Корректность задачи Коши для сингулярных гиперболических дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения операторных коэффициентов Выход

Пусть Н-гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой. На ограниченном интервале рассматривается дифференциальное уравнение (1), (2), где и функции переменной t со значениями в Н и – линейные самосопряженные неограниченные операторы в Н с зависящими от t областями определения, – замкнутые операторы в Н с зависящими от t областями определения. НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА: Выход

Предполагаем, что если операторы удовлетворяют условиям А1-В3, тогда рассматриваемая задача Коши корректна А1. При каждом для операторов выполняется оценка А2. Обратные операторы операторов сильно непрерывны по t в Н и при всех имеют в Н сильную производную, которая удовлетворяет неравенству А3. При почти всех операторы имеют в H ограниченную сильную производную, для которой Выход

В1. При каждом для операторов выполняется оценка В2. При почти всех t справедливы неравенства где – квадратный корень операторов. В3. При каждом операторы подчинены операторам и. В H при всех t ограничены операторы и Выход

НАУЧНАЯ НОВИЗНА: Усовершенствованы технические приемы исследования дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения Получены новые и имеющие большое научное значение результаты в теории дифференциально- операторных уравнений Выход

ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО Теорема 1. Если выполняются условия А1, А2, В1, В2 и множество плотно в, то имеет место следующее неравенство Выход ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

ТЕОРЕМА CУЩЕСТВОВАНИЯ Теорема 2. Если выполняются условия А1-А3 и В1-В2, тогда для каждого сильное решение задачи Коши (1), (2) существует, единственно и Выход

В области переменных x и t рассматривается сингулярное гиперболическое уравнение в частных производных с переменными по времени граничными условиями и однородными начальными условиями Выход

Гильбертовым пространством Н будет. Уравнение (1*) является частным случаем уравнения (1) для каждого при следующих операторах:, Выход

Здесь коэффициенты уравнения,, и граничных условий и для всех. Выход

Теорема 3. Если коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют указанным выше требованиям, то для любой функции начально-краевая задача (1*)-(3*) имеет единственное сильное решение, для которого справедлива оценка где гильбертово пространство – замыкание множества всех функций, удовлетворяющих условиям (2) и (3), по норме левой части этой оценки и выражение Выход

ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ: Доказательство теорем существования, единственности и устойчивости сильных решений обобщенного ДОУ Эйлера-Пуассона-Дарбу с переменными областями определения гладких и разрывных операторов и сингулярных гиперболических уравнений с гладкими и разрывными коэффициентами Установление корректности разрешимости новых смешанных задач для сингулярных гиперболических уравнений в частных производных с зависящими от времени граничными условиями Выход

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Выход