Познакомиться с формулами сокращённого умножения 1) (а + b) 2 = а а b + b 2 2) (а - b) 2 = а а b + b 2 2) (а - b) 2 = а а b + b 2 3) ( b –а ) 2 = а а b + b 2 3) ( b –а ) 2 = а а b + b 2 4) (-а - b) 2 = а а b + b 2 4) (-а - b) 2 = а а b + b 2

Устная работа Задание 1. Представьте в виде произведения и вычислите : а) 3², 7², 9². 3² = 3·3 = 9 ; 7² = 7·7 =…; 9² = …. б) 11², 25², 77². 11² = 11·11 = 121 ; 25² = 25·25 = … ; 77² =…. в) 103², 292², 195². 103² =…; 292² =…; 195² =….

Задание 2. Представьте в виде произведения и вычислите : а) 199² = ( 200 – 1 ) ( 200 – 1 ) = 200² – ² = – = ; б) 702² = ( ) ( ) = 700² ² = =... ; в) 999² = ( 1000 – 1 ) ( 1000 – 1 ) =… ; г) 10,5² =….

Мы выполнили ряд примеров, в которых раскрывали скобки, выполняя умножение. 702² = ( ) ( ) = 700² ² = = Заметьте, что в каждом примере второго задания умножаются одинаковые двучлены и в результате из четырёх слагаемых два являются квадратами одночленов, а два их произведениями. Причем, удвоенное произведение имеет знак двучлена ( + или - ) ( y – 7 )² = ( y – 7 ) · ( y – 7 ) = y²– 7y – 7у + 7² = y²– 2·7y + 7² = y²– 14y + 49

Итак, если двучленом является сумма или разность одночленов, то можно сформулировать правила возведения их в квадрат. Квадрат суммы двух одночленов равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение (а + b)² = a² + b² + 2ab = a² + 2ab +b² Квадрат разности двух одночленов равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение (а - b)² = a² + b² - 2ab = a² - 2ab +b²

Эти тождества называются формулами сокращённого умножения и если их запомнить, то можно с успехом использовать при возведении в квадрат суммы или разности двух выражений. При использовании этих формул нужно знать, что (b –a)² = (a – b)² и и (- a –b)² = (a + b)², так как (-а )² = а². Это можно проверить умножением двучленов при раскрытии скобок.

Запомните ! ( а + b )² - квадрат суммы двух выражений представим в виде произведения и раскроем скобки, выполнив умножение двучлена (а + b) на себя, приведём подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида а а² + 2 а b + b² ( а + b )² = ( а + b )·( а + b ) = а² + а b + а b + b² = а² + 2 а b + b² Сократим запись! ( + )² = ( )² + 2· · + ( )² Перерисуйте схему в тетрадь !

(а – b )² - квадрат разности двух выражений представим в виде произведения и раскроем скобки, выполнив умножение двучлена (а - b) на себя, приведём подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида а² - 2 а b + b² ( а – b )² = ( а – b )·( а – b ) = а² - а b - а b + b² = а² - 2 а b + b² Сократим запись! ( - )² = ( )² - 2· · + ( )² Перерисуйте схему в тетрадь !

Отмечу, что на этих формулах основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Что мы и попытались сделать в начале урока. 103² = ( )² = 100² + 2·100·3 + 2² = = ² = ( )² = 300² + 2·300·8+ 8² = = 94864

При использовании формул квадрата суммы и квадрата разности для раскрытия скобок в упрощении выражений, необходимо твердо установить какая формула используется и привести сумму или разность, возводимую в квадрат в соответствие с формулой. Например : а) (-3а + 5x)² = (5x – 3a)² = (5x)² - 2·5x·3a +(3a)² = 25x² – 30ax +9a² б) (-1,5x – 4,5y)² = (1,5x+4,5y)² = (1,5x)² + 2·1,5x·4,5y + (4,5y)² = …

А теперь попробуйте использовать полученные знания, выполнив в тетради задания по образцу : Задание 3.Раскройте скобки используя формулы: Образец: а) (c + d)² = c² + 2cd + d² б) (m – n)² = m² - 2mn + n² в) (c + 8)² = c² +2·c·8 + 8² = c² + 16c + 64 г) (12 – p)² = 12² – 2·12 · p + p² = 144 – 24p + p² Выполните самостоятельно: а) (a + x)² = б б) (b – y)² = в в) (9 + b)² = г) (a – 5)² =

Правильные ответы: Устная работа Задание 1. б) 121; 625; в) 11609; ; ; в) 11609; ; ; Задание 2. б) ; в) ; г) 110,25 ; Применение на практике: б) 2,25x² +13,5x y+20,25y² в) 9z 14 – 3t z 10 +0,25t 2 z Практикум Задание 3. а) a² +2ax +x² ; б) b² – 2by + y² ; в) b + b² ; г) a² – 10a + 25 ;

Правильные ответы: Задание 4. а) a² – 5ab + b² ; б) 0,81x² + xy + y² ; в) 1,44m² + 10mn + n²