Курсовая работа на тему : Использование МП Maple для решения нелинейных уравнений и их систем Выполнила : студентка ФМФ группы ИМ -4 Гаврилова Екатерина. Руководитель доцент Горский А. В.

Введение Несмотря на направленность Maple на серьезные математические расчеты, системы класса Maple необходимы широкой категории пользователей – студентам, преподавателям ВУЗов, инженерам, аспирантам, научным работникам и учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Применение системы Maple в образовании способствует повышению фундаментальности математического образования, сближает нашу образовательную систему с западной. Актуальность темы. Сравнительный анализ уровня решаемости алгебраических и трансцендентных уравнений в системе Maple обусловлен практической потребностью в разрешении вопросов, определяющих границы применяемости системы Maple для использования в учебном процессе. Цель исследования – выявить три уровня решаемости уравнений в системе Maple ( полное решение, частичное решение, нет решения ).

Объект исследования – реализация возможностей математического пакета Maple при решении алгебраических и трансцендентных уравнений. Предмет исследования – возможности математического пакета при решении алгебраических и трансцендентных уравнений ( рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины ), а так же систем уравнений. Задачи исследования : Исследование решаемости уравнений в математическом анализе. Исследование возможностей математической системы Maple при решении уравнений. Исследование решаемости уравнений в системе Maple Методы исследования – эмпирические методы изучения продуктов деятельности ( решения уравнений ), статистическая обработка как качественный и количественный анализ трех уровней решаемости уравнений в системе Maple

Графический метод исследования уравнений Задание области определения и области значений функции. Монотонность. Четность. Периодичность. Ограниченность. Возрастание и убывание функции переменной. Максимумы и минимумы функции. Наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.

Математическая среда Maple Система Maple для Windows была создана группой «The Symbolic Group», организованной Кейтом Геддом (Keith Geddes) и Гастоном Гоне (Gaston Gonnet) в 1980 году в университете Waterloo, Канада. Простота задания опций, легкость подготовки графических процедур позволяет осуществлять визуализацию решения математических задач. В математической системе Maple есть несколько средств для решения линейных и нелинейных уравнений и неравенств. Разделим их на 3 группы : Функции, используемые для решения уравнения Функции, используемые для проверки решения уравнения Функции, используемые для построения графиков.

Функции, используемые для решения уравнения Solve – для решения в аналитическом виде Fsolve – для решения численными методами Allvalues - для получения решений вида RootOf в явном виде может использоваться функция allvalues

Функции, используемые для проверки решения уравнения Подстановки в общем случае служат для замены одной части выражения на другую. Частным видом является операция замены символьного значения переменной её численным значением. subs(x=a,e) в выражении e заменяет x на a simplify(expr) возвращает упрощенное выражение ехр r или повторяет его, если упрощение в рамках правил Maple невозможно

Функции, используемые для построения графиков Для построения графиков служит функция plot. Она задается в виде : plot(f(x),xmin,xmax) построение графика функции f. Для задания двумерного графика неявного вида служит функция implicitplot импликативной графики : implicitplot (f(x),x=a..b,y=c..d,options) где f(x) визуализируемая функция ( или функции ), x=a..b, y=c..d – минимальные и максимальные значения переменных. Для построения графиков трехмерных поверхностей Maple имеет встроенную в ядро функцию plot3d: plot3d(f(x, y),x=a..b. y=c..d,p)

Методика решения уравнений : ввод данного уравнения ; предварительный анализ уравнения ( определение вида, ожидаемого количество корней ); построение графика функции с помощью Plot( проверка предположений о количестве корней и периодичности функции ); для нахождения решения используем функцию solve. Если найдены : все корни ( по предварительному исследованию и графику ); не все корни, тогда используем _EnvAllSolution := true ( для вывода периодических решений ); уравнение не решается символьными методами fsolve ( численные методы решения уравнений ); проверка полученных корней уравнений, подстановка с помощью subs и методом пристального взгляда ( на графике ); заключение по результатам полученного решения

Методика решения систем уравнений : ввод данной системы уравнений ; предварительный анализ системы уравнений ( определение вида уравнений, ожидаемого количество корней ); построение графика функции с помощью Plot3D ( проверка предположений о количестве корней и периодичности функций ); для нахождения решения используем функцию Solve. Если найдены : все корни ( по предварительному исследованию и графику ); не все корни, тогда используем _EnvAllSolution := true ( для вывода периодических решений ) уравнение не решается символьными методами fsolve ( численные методы решения уравнений ); проверка полученных корней уравнений, подстановка с помощью subs; заключение по результатам полученного решения.

Краткая методика решения уравнения ( для нахождения верного решения в кратчайшие сроки ): Ввод данного уравнения Построение графика Для нахождения решения используем оператор Solve Получаем результат Проверяем полученные корни уравнения с помощью subs Пример :

Статистика решаемости различных видов уравнений Тип уравнения Решаемость полностьючастичноНет Рациональные 1000 С модулем 1000 Иррациональные 730 Показательные 1000 Логарифмические 1000 Тригонометрические 820 Комбинированные 820 Из 70 уравнений (100%), предложенных к решению, полностью решены 63 (90%), частично 7 (10%), не решенных уравнений нет.

Статистика решаемости различных видов систем уравнений Тип уравненияРешаемость полностьючастичнонет Рациональные 910 Показательные и логарифмические 820 Тригонометрические 730 Из 30 систем (100%), предложенных к решению, полностью решены 25 (83%), частично 5 (17%), не решенных систем нет. Вывод : мат пакет Maple позволяет получить решение ( пусть не всегда полное ) для любых видов алгебраических и трансцендентных уравнений и их систем.

Заключение Сравнительный анализ уровня решаемости алгебраических и трансцендентных уравнений в системе Maple показал 90%- ую решаемость уравнений и 83%- ую решаемость систем уравнений, что позволяет использовать в учебном процессе. Цель исследования достигнута : выявлены три уровня решаемости уравнений и систем в математическом пакте Maple ( полное решение, частичное решение, нет решения ), статистические данные сведены в таблицы 1 и 2. Не реализованы возможности математического пакета Maple при решении уравнений – 10%, и 17% при решении систем уравнений. Таким образом, рассмотрены три метода поиска решений уравнений ( символьное, численное и графическое ), входящих в состав математического пакета при решении алгебраических и трансцендентных уравнений ( рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины ), а так же систем уравнений. Выполнены задачи исследования математическими методами.