Треугольник, простейший и неисчерпаемый. Задачи для подготовки к ВНО

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. В. Произволов

Треугольник Вершины треугольника Стороны треугольника Фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками. Точки называются вершинами треугольника. Вершины Отрезки называются сторонами треугольника. Стороны

Угол А - сторона ВС Угол В – сторона АС Угол С – сторона АВ Противолежащие углы и стороны Угол А образован сторонами АВ и АС Угол В образован сторонами ВС и ВА Угол С образован сторонами СВ и СА

Назовите треугольники среди данных фигур.

Начертите треугольник DEK и проведите отрезок, соединяющий вершину D с серединой противолежащей стороны.

Начертите треугольник MNP. На стороне MP отметьте произвольную точку K и соедините ее с вершиной, противолежащей стороне MP.

Назовите углы: треугольника DEK, прилежащие к стороне EK; (угол Е и угол К) треугольника MNP, прилежащие к стороне MN (угол М и угол N)

Назовите угол: треугольника DEK, заключенный между сторонами DE и DK (угол D) треугольника MNP, заключенный между сторонами NP и PM (угол P)

Равные треугольники А В С M N K Против соответственно равных сторон лежат равные углы. Против соответственно равных углов лежат равные стороны

Как называется отрезок АМ на рисунке? Сформулировать определение медианы треугольника: Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны АМ – медиана ВМ = МС В М С А

Как называется отрезок ВК на рисунке? Сформулировать определение биссектрисы треугольника: Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. ВК - биссектриса АВК = СВК A B C K

Как называется отрезок СН на рисунке? Сформулировать определение высоты треугольника: Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. СН - высота СН АВ A B C H C A B H

А В С АВ, ВС - боковые стороны равнобедренного треугольника А, С – углы при основании равнобедренного треугольника АС - основание равнобедренного треугольника В – угол при вершине равнобедренного треугольника Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны

Назовите основание и боковые стороны данных треугольников 1)1) Р М N D C E 2) O S T 3)3) 4)4) KM L 5) H F C

ТРЕУГОЛЬНИК, все стороны которого равны, называется РАВНОСТОРОННИМ

Теорема 1 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Дано: АВС – равнобедренный, АС – основание Доказать: А = С A B C

Доказательство: 1.Проведём ВD – биссектрису АВС 2. Рассмотрим АВD и СВD АВ=ВС, ВD-общая, АВD= СВD, значит АВD= СВD (по двум сторонам и углу между ними) 3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы А= С Теорема доказана A B C D

Теорема 2 В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой Дано: АВС –равнобедренный, АС – основание, ВD – биссектриса. Доказать: 1. ВD – медиана 2. ВD – высота A B C D

Доказательство: 1.Рассмотрим АВD и СВD АВ=ВС, ВD-общая, АВD= СВD, значит АВD= СВD (по двум сторонам и углу между ними) 2. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны АD=DC, значит D – середина АС, следовательно ВD – медиана 3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, т.е. 3= 4 и 3 и 4 – смежные, значит 3 = 4 = 90°, следовательно ВD АС, т.е. ВD – высота Теорема доказана A B C D 34

40° 70° A B C Дано: MNP - равнобедренный, NК – биссектриса NК = 5 см, MP = 12 см Найти: SMNP Дано: АВС - равнобедренный, ВМ – медиана ВМ = 7 см, АС = 18 см Найти: SАВС М N P A B CM М N PK Дано: АВС - равнобедренный,

40° 70° A B C Дано: MNP - равнобедренный, NК – биссектриса NК = 5 см, MP = 12 см Найти: SMNP Дано: АВС - равнобедренный, ВМ – медиана ВМ = 7 см, АС = 18 см Найти: SАВС М N P A B CM М N PK Дано: АВС - равнобедренный,

МЕДИАНА Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника Любой треугольник имеет три медианы Любой треугольник имеет три медианы

БИССЕКТРИСА Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется Биссектрисой треугольника Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется Биссектрисой треугольника Любой треугольник имеет три биссектрисы Любой треугольник имеет три биссектрисы

ВЫСОТА Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащий противоположную сторону, называется высотой треугольника Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащий противоположную сторону, называется высотой треугольника Любой треугольник имеет три высоты. Любой треугольник имеет три высоты.

Закончить фразу так, чтобы можно было научиться различать Медиана треугольника – это отрезок………..… Биссектриса треугольника – это отрезок…………..... Высота треугольника – это перпендикуляр …………

Прямоугольный треугольник. А В С г и п о т е н у з а к а т е т

Теорема Пифагора

х Найдите н еизвестную с торону треугольника х

Решите задачу : А В С D О ДАНО: АВСD - ромб; АС = 12 см; ВD = 16 см. НАЙТИ: Р ABCD

Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Содержание. Исторические сведения Справочный материал

Задача 1 Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м.. Найдите его высоту, проведенную из вершины большего угла. Дано: A B C ABC - треугольник AB = 12 м. BC = 16 м. AC = 20 м. Найти: BD = ? м. D

Анализ условия задачи 1: A B C D 90 о X AD = X DC = 20 - X 2 Угол B = 90˚, так как AC = BC + BA 22

X Решение задачи 1: A B D Рассмотрим треугольник ABD C D B BD = 12 - X 222 Треугольники подобны BD = X(20 – X) 2 12 – X = X(20 – X) 22

– X = 20X – X – X – 20X + X = – 20X = 0 7,5 – X = 0 X = 7,2 BD = 7,2(20 – 7,2) = 92,16 2 BD = 9,6 Решение задачи 1:

Задача 2 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Дано: MCN – вписанный треугольник MC = 15 Найти: MN M C N D DN = 16 d

Решение задачи 2: 90 o M C N D d d = MN = MD + DN MD = x x d = x + DN

M C N D x Решение задачи 2: CD = MD DN = 15 - x 22 x 2 CD = MC - MD = x x Рассмотрим треугольник MCD

Решение задачи 2: 15 - x = x x x + 16x – 255 = 0 2 D = = 1156 x = = -25x = = 9 d = x + DN d = = 25

Задача 3 Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на отрезки СМ=10 и МВ = 14, АВ=21. Найдите радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности. Дано: CM=10, MB=14, AB=21 Найти : R=? А С В M O

Решение задачи 3: M А С В O 1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. = AB BM AC CM = AC 10 AC= 15 2.Радиус описанной окружности найдём по формуле: R= a b c 4 S Где S найдём по формуле Герона S= p(p-a)(p-b)(p-c) 15 Где p= 1 2 (a + b + c) p= ( ) 1 2 p= 30 S= = 90 3 R= = 7 3 Ответ: R= 7 3

Задача 4: Дано: ABC, H А B C O BH= 12, BH AC, sin A= sin C= 5 4 Найти: r Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если высота BH равна 12 и известно, что sin A= sin C= 5 4 О – центр, вписанной окружности

Решение задачи 4: H А B C O 1. r = S p 2. По определению синуса из BHC, где BHC=90 ( по условию BH AC) sinA = = BH AB AB = 12 : = sinС = = BH BC 4 5 BC = BH : sinC = HC² = BC² - BH² = 225 – 144 = 81 HC = 9 5. AH² = AB² - BH² = 25 AH = 5 6. AC = AH + HC = S = ah = = p = (a + b + c) = r = = 4 84 Ответ : r = 4

Задача 5 Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника BOC равна 16. Дано: АВС, АС- основание, ВАС=75, О – центр описанной окружности, S BОC=16. Найти: R. А В С О D

Решение задачи 5 В А С О D 1.Треугольник по условию равнобедренный, проведем высоту BD, она является и медианой, Поэтому точка О принадлежит BD. 2. ОВ=ОС =R, S BOC= 1/2ВО*ОС*sin BOC 3.Треугольник вписан в окружность с центром О, значит ВОС это соответствующий центральный угол вписанного угла А и равен = 1/2 R*R*sin150, sin150 =sin30 =1/2 R=8 Ответ: 8

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника Задача 6 Дано: АВС, С=90 r=2 м, R=5м, О 1 - центр вписанной окружности, Найти: больший катет N А ВС О M K О

Решение задачи 6 1.О – центр описанной окружности; так как треугольник АСВ прямоугольный, то его гипотенуза является диаметром окружности, угол АСB =90 и является вписанным AB = 2R = 5 2 = 10 м. 2. O - центр вписанной окружности: OK AB; OM AC; ON CB; ON = OK = OM = r = 2м, СМО 1 N - квадрат 3. Отрезки BK и BN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, аналогично CN = CM; AM = AK; обозначим BK = BN = x; тогда CB = 2 + x; AK = AM = 10 – x; AC = 12 – x. 4. По т. Пифагора AB² = CB² + AC²; 10² = (2 + x)² + (12 –x)² 2x² - 20x + 48 = 0, x² - 10x = 24 = 0, x = 6, x = 4; AC = = 6; CB = = 8м. Ответ: 8м. N А ВС О M K О

Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности - 6 м. Найдите диаметр описанной окружности. Дано: ABC – треугольник P=72 C=90 r = 6 м Найти d описанной окружности. Задача 7 A C B 6 О M y K y 6 N x x

Решение задачи 7: 1.АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚, Значит диаметр описанной окружности совпадает с гипотенузой т.е. d=AB 3. Обозначим отрезки BN = BK = x (OK AB) OK=r, ВN=ВК как отрезки касательных AM = MK = y P АВС = AC + AB + CB, но АС = 6+у, АВ = x + у СВ = 6+х P АВС = 6+у+х+у+6+х = 12+2х+2у = 72 (по условию) х + у = (72-12) : 2, х + у = 30, АВ=30 2. О – центр вписанной окружности, ON = ОМ = r = 6 По свойству касательной ON CВ, ОМ ВС ; значит СМ=СN, как отрезки касательных к окружности с центром О, проведенных из одной точки, итак, четырехугольник CMON – квадрат со стороной ОМ = 6. A C B 6 О M y K y 6 N x x Ответ : 30

Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины основания – 24 м. Найдите площадь треугольника. Дано: ABC – треугольник AB=BC AC=3 см AD BC AD=24 см Найти: S ABC AC B X X-DC 24 см D Задача 8

Решение задачи 8: 1.S АВС = ½ AD BC Найдём ВС, обозначим АВ = ВС = х, тогда DB = x - DC 2. Из АВС найдём DC DB = x -18 S АВС = ½ = 300 (м ) 2 Ответ: 300 м 2 3. ABD по т. Пифагора имеем: AB = BD + AD ; BD = AB - AD (x – 18) = x x = x = 100 X = DC = 30 – 24 = (30 – 24) ( ) = 18 AC B X X-DC 24 см D

Задача 9 В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18. Дано: АВС- равнобедренный, О- центр вписанной окружности DE AC, DE=8 AC=18 В DE A C Найти : r O

О В D N E MA C Решение задачи 9 1.Четырехугольник ADEC - описанный, все его стороны касаются окружности с центром О. Стороны такого четырехугольника обладают свойством DE + AC = AD + EC. 2. По условию отрезок DE параллелен АС, а так как треугольник равнобедренный, то AD = CE, значит DE + AC = 2AD. Отсюда AD= Проведем ВМ –высоту треугольника, она является и биссектрисой, значит центр вписанной окружности О лежит на ВМ 4. Из вершины D и Е проведем перпендикуляры. КL 6. Из треугольника ADK : DK = 12, DK=MN =2r, r = NL=DE, AK =LC и AK+LC= 18-8=10 AK = 5. Ответ : 6.

Исторические сведения. Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Понятие о треугольнике исторически развивалось, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. Фалес Пифагор / 624 до н. э. прим. 570 до н. э. 624 до н. э.570 до н. э. Евклид II век до н. э. II век до н. э.

Справочный материал Проекция катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы), соединяющий основание перпендикуляра, опущенного из прямого угла и конец катета, общий с гипотенузой. Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью. Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!