Связь дифференцируемости функции с непрерывностью

Цель урока Установить, является ли дифференцируемая в точке функция непрерывной в точке? и наоборот - является ли непрерывная функция в точке дифференцируемой в точке? То есть, как связаны дифференцируемость функции с непрерывностью и каково условие непрерывности функции?

Дифференцируемой в точке функцией называют функцию, имеющую… Непрерывной в точке x=a называют функцию, если существует… Вспомните:

Как по графику функции сделать вывод о дифференцируемости функции в точке? Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема

Функция y= f(x) непрерывна в точке x=a, если lim f (x) = f (a) x a x a, x-a 0, т.е. x 0,то f (x) f (a), f (x) - f (a) 0, т.е. f 0 Функция y= f(x) непрерывна в точке x=a, если в этой точке выполняется условие: при x 0, f 0

Связь непрерывности функции с дифференцируемостью Если y= f(x) дифференцируема в точке х, т.е. имеет производную в данной точке, тогда это означает, что к графику функции в точке М(х,f(x)) можно провести касательную, причем К кас = f '(x), т.е.lim f/x= f '(x),т.е. x0 f/x f '(x), f f '(x) x, при x 0, то f 0, т.е. это и есть условие непрерывности

Теорема (условие непрерывности функции в точке) Если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке. Обратная теорема- неверна. Если функция непрерывна в точке, то она не является дифференцируемой в точке. Примеры

Функция дифференцируема на Функция не дифференцируема в точках х = Функция непрерывна на В точке х= не является непрерывной

Какую функцию называют дифференцируемой в точке? Какую функцию называют непрерывной в точке? Как по графику функции сделать вывод о дифференцируемости функции в точке? Если функция дифференцируема в точке, является ли она непрерывной в точке? Если функция непрерывна в точке, является ли она дифференцируемой в точке? Пример. Итак, каково условие непрерывности функции в точке? x=a Итог урока