Аксиомы стереометрии

Аксиома 1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна. А В С α (первый способ задания плоскости)

Аксиома 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. (говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую). α А В

Аксиома 3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. (говорят, что плоскости пересекаются по прямой). а α β

Следствия из аксиом

Теорема Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, и при том только одну. (второй способ задания плоскости) α N а

Дано: а, М не принадлежит α. Док-ть: через а, М проходит α. Док-во: отметим Р и Q на а. М, Р и Q не лежат на одной прямой. Значит (по аксиоме 1) через эти 3 точки можно провести некоторую плоскость α. Т.к. P и Q принадлежат а и лежат в α, то (по аксиоме 2) α проходит через а. Док-ем единственность этой плоскости, проходящей через а и М. это следует из того, что любая плоскость, проходящая через а и М, проходит через М, Р и Q. Следовательно, эта плоскость совпадает с α, т.к.(по аксиоме 1)через М, Р и Q проходит только одна плоскость. Ч.Т.Д. α М а Р Q

Теорема Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. (третий способ задания плоскости). α а b

Дано: а, b, а b = M Док-ть: через а,b проходит α и притом только одна. Док-во: отметим на b точку N, отличную от М. Рассмотрим α, проходящую через N и а. Т.к. М и N лежат в α, то (по аксиоме 2) α проходит через b. Значит α проходит через а и b. Док-ем единственность этой плоскости. Это следует из того, что любая плоскость, проходящая через а и b, проходит через N.значит она совпадает с α, т.к. через N и а проходит только одна плоскость. Ч.Т.Д. α а b М N