1-ый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Строим DA 1 B 2 C 2 = DABC, с вершиной B 2 на луче A 1 B 1 и вершиной C 2 в той же полуплоскости относительно прямой A 1 B 1, где лежит вершина C 1 Так как AB=A 1 B 1 и AB=A 1 B 2, то вершина B 2 совпадает с вершиной B 1

Так как ÐBAC=ÐB 1 A 1 C 1 и ÐBAC=ÐB 2 A 1 C 2, то луч A 1 C 2 совпадает с лучом A 1 C 1 Так как AC=A 1 C 1 и A 1 C 1 =A 1 C 2, то вершина C 2 совпадает с вершиной C 1. Итак, DA 1 B 1 C 1 совпадает с DA 1 B 2 C 2, значит, DA 1 B 1 C 1 = DA 1 B 2 C 2= DABC. DA 1 B 1 C 1 =DABC Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как B1A1C2 = B1A1C1 и A1B1C2 = A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников Теорема Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны. Допустим, что треугольники не равны. Тогда A A1, B B1, C C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку. Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1. Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

KBC= DEC по первому признаку (BC= CE, KC= CD, BCK = DCE как углы, дополняющие угол KCD до 90° ). Из равенства треугольников следует, что, BK= DE= 4. Тогда AB= BK+ AK= 5.

EDC= EFA по второму признаку (AF= CD, F= D= 90°, EAF= ECD). EAF = ECD, т.к. F= D, AEF= CED как вертикальные, а сумма углов треугольника равна 180°. Из равенства треугольников следует, что AE = EC= 5 (см. решение задачи 1). Отсюда AD= AE+ ED= 5+ 3= 8. Ответ: размеры ковра 4м и 8м. Возможен так же и другой способ решения. AFC = CDA по третьему признаку (AF = CD, FC=AD, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ACF = CAD, значит, AEC - равнобедренный. Тогда AE=EC=5 (см. решение задачи 1). AD = 3+5 = 8. Размеры ковра – 4м и 8м. При обосновании равенства треугольников AFC и CDA можно использовать и первый признак равенства треугольников (AF=CD, FC=AD и AFC = ADC).