Теорема Фалеса

Через середину стороны AB, треугольника ABC, точку M, провели прямую, параллельную стороне AC, эта прямая пересекает сторону BC в точке N. Докажем, что BN=NC Рассмотрим задачу A B C MN

Решение задачи Доказать: BN=NC Дано: ABC – треугольник, AM=MB, BM||ND A B C MN Доказательство 1. Дополнительное построение: через точку С проведем прямую параллельную AB AM=MB (по условию), AM=CD (свойство параллелограмма), следовательно MB=CD (по второму признаку) 6. BN=NC D

Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через из концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B1B1 B2B2 B3B3 B4B4

Теорема Фалеса Доказательство 1. Рассмотрим два случая 2. Первый случай, когда две прямые параллельны A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 3. Докажем что B 1 B 2 =B 2 B 3 4. A 1 A 2 = B 1 B 2, A 2 A 3 = B 2 B 3 (по свойству параллелограмма) 5. B 1 B 2 =B 2 B 3

Теорема Фалеса Доказательство 1. Второй случай, когда две прямые не параллельны 3. Через точку В 4 проведем прямую параллельную l, она пересечет прямые A 3 B 3 и A 2 B 2 в некоторых точках C и D 4. Как уже доказано B 4 C=CD 5. Рассмотрим треугольник B 4 B 2 D A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 l C D 5. Как нами было доказано в задаче, предшествующей теореме B 4 B 3 =B 3 B 2 6. Аналогично можно доказать что B 3 B 2 =B 2 B 1

Решение задач Произвольный отрезок разделить на 3 равные части

Решение задач Решение 1. Через точку A проведем прямую l AB A1A1 A2A2 A3A3 l 2. От точки A отложим 3 равных отрезка 3. Соединим точки A 3 и B 4. Через точки A 1 и A 2 проведем прямые параллельные A 3 B 5. Отрезок AB разделён на 3 равные части

Домашнее задание