С В А 4 3 Найти S АВС Ответ: 6

СВ А Найти S АВС 6 Ответ: 4,5

С В А Найти S АВС Ответ: 8

СВ 4 А 5 Найти S АВС

Существует ли связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника? Да, существует!

Пифагор – человек - легенда

Пифагор Самосский Считается, что Пифагор родился в аристократической семье на острове Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии. В детстве он получил превосходное образование. Чтобы постичь премудрости других народов он путешествовал по странам восточной части Средиземного моря, Египту и Вавилону.

Пифагор -легенда Фигура Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном; полагали, что у него было золотое ребро; он был способен преподавать в одно и то же время в двух местах; он мог «вызвать затмение» при помощи цифр…изгнать болезнь

Пифагор – первый из философов своего времени удостоился, чтобы портрет его появился на древних монетах

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора» Иоганн Кеплер

«Пифагоровы штаны во все стороны равны»

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямо- угольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах». Современная формулировка теоремы Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Существует более 100 различных доказательств теоремы Пифагора ( геометрических, алгебраических, механических и т.д.) Теорема Пифагора занесена в книгу рекордов Гиннеса.

История открытия теоремы Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают Пифагору. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга Пифагора в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

аc b Дано: Доказать: c 2 =a 2 +b 2 a a a a b b b c c c Таким образом, c b

Доказательство теоремы Пифагора по Басхари Иллюстрирует Доказательство великого индийского математика Басхари рисунок, с одним лишь словом: СМОТРИ! c a b 0,5ab (b-a) 2 0,5 ab

b A B C a c F D E Метод Гофмана Построим треугольник ABC с прямым углом С Построим BF=CB, BF CB Построим BE=AB, BE AB Построим AD=AC, AD AC Точки F, C, D принадлежат одной прямой. четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а 2 +1/2b 2 =1/2с 2 Соответственно: а 2 + а 2 + b2 =с =с 2

Метод Мёльманна c B A C a b Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой 0.5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r (r = 0.5(a+b-c)) Имеем: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Отсюда следует, что с 2 =а 2 +b 2

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». c a b Теорема Пифагора

Х 3 4 5

Х

Х

Пифагоровы треугольники Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон треугольников выражаются целыми числами называются пифагоровыми треугольниками Примеры: 3, 4, 5 5, 12, 13; 8, 15, 17 7, 24, 25 Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником

Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Определите Какой треугольник является прямоугольным? 1)13 м; 5 м; 12 м; 2) 6 дм; 8 дм; 12 дм.

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путем К результату мы придем. И. Дырченко

Решение практических задач

Древнерусская задача Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены тоя же высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествици нижний конец от стены отстояти имать. Дано: АВС, 90 º, АС = 117 стоп, АВ = 125 стоп. Найти: ВС Решение:

Тополь у реки «На береге реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его угол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?» Дано: АС = 3 фута, AD = 4 фута, BC = CD. Найти: АВ. Решение: AB=AC+CB=AC+CD. CD= AB=5+3=8 ACD,

Самостоятельная работа 1 Вариант2 Вариант 6 10 a 8 6 c b a c 8b

Итоги урока: A BC a bc Если, то Если, то

Домашнее задание: п. 54, 55, вопросы 8 – 10, 483(в), 484 (б, г), 498 (б, г, ж)