Свойства линейных операций над матрицами Свойства линейных операций над векторами.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами,
Advertisements

§ 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V – линейные пространства над F (где F – множество рациональных, действительных или.
Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление.
Введение в теорию множеств. Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной.
3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис Пусть L – линейное пространство над F, a 1,a 2, …, a k L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a 1,a.
§12. Основные алгебраические структуры Пусть M некоторое множество. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что на множестве M задана бинарная алгебраическая операция если.
1. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.1. Матрицы. Действия с матрицами Определение 1.1. Таблица вида: (1.1) в которой все – заданные числа, называется.
План лекции: 1. Векторы. Линейные операции над векторами. 2. Линейная зависимость и независимость векторов. 3.Понятие базиса. Координаты вектора. 4. Разложение.
1 Линейные пространства Базис линейного пространства Подпространства линейного пространства Линейные операторы Собственные векторы и собственные значения.
Элементы векторной алгебры Кафедра высшей математики ТПУ Лектор: доцент Тарбокова Татьяна В асильевна.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Лекция 3. План лекции: Понятие вектора. Действия над векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Размерность.
4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. ТЕОРЕМА 9. 1) Если.
Элементы общей алгебры Подгруппа, кольцо, поле, тело, решетка.
Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка.
Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Системы линейных ДУ: однородные системы Лектор Пахомова Е.Г г.
1 Кубенский А.А. Дискретная математика Глава 1. Множества и отношения Решетки Решетка – это множество M с определенными на нем двумя бинарными операциями.
§10. Евклидовы линейные пространства ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть E – линейное пространство над. Отображение f:(x,y), которое каждой паре элементов x,y E ставит.
Элементы векторной алгебры.. Определение Совокупность всех направленных отрезков, для которых введены операции: - сравнения - сложения - умножения на.
Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 4. Тема: Множество. Операции над множествами.
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет Кафедра математики Виктор Юрьевич Попов Лекции по теории функции комплексной.
Транксрипт:

Свойства линейных операций над матрицами Свойства линейных операций над векторами

Глава III. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов § 9. Понятие линейного пространства 1. Определение и примеры

Пусть L – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа из F (где F – множество рациональных, действительных или комплексных чисел). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным пространством над F если для любых элементов a,b,c L и для любых чисел, F выполняются условия: 1. a+b=b+a (коммутативность сложения элементов из L); 2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения элементов из L); 3. Во множестве L существует такой элемент o, что a+o=a. Элемент o называют нулевым элементом множества L; 4. Для любого элемента a L элемент –a L такой, что a+(–a)=o. Элемент –a называют противоположным к a; 5. ( a)=( )a (ассоциативность относительно умножения чисел); 6. ( + )a= a+ a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел); 7. (a+b)= a+ b (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L); 8. 1a=a.

Линейное пространство над называют еще вещественным (действительными) линейным пространством, а над – комплексным. ЛЕММА 2 (простейшие свойства элементов линейного пространства). Пусть L – линейное пространство над F. Тогда для любых элементов a,b L и любых чисел, F справедливы следующие утверждения: 1) 0·a = o, ·o = o; 2) (– ) · a = ·(–a) = – a, (– ) ·(–a) = a; 3) ·(a–b) = a – b, ( – ) · a = a – a. Наряду с термином «линейное пространство» используется также термин «векторное пространство», а элементы линейного пространства принято называть векторами.

2. Подпространства линейных пространств Пусть L – линейное пространство над F, L 1 – непустое подмножество в L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что L 1 является подпространством линейного пространства L (или линейным подпространством), если оно само образует линейное пространство относительно операций, определенных на L. Если L 1 является подпространством линейного пространства L, то пишут: L 1 L ТЕОРЕМА 3 (критерий подпространства). Пусть L – линейное пространство над F, L 1 – непустое подмножество в L. L 1 является подпространством линейного пространства L тогда и только тогда, когда для любых элементов a,b L 1 и любого F выполняются условия: 1) a – b L 1 ; 2) ·a L 1.