МОУ МОУ лицей 24 им. А.В. Корявина Решение нескольких стереометрических задач векторно-координатным способом Выполнил: ученик 11 «А» класса Шабанов Максим Руководитель: учитель математики Титова Р.А.

МОУ Построение сечения по уравнению секущей плоскости. Вершина В прямоугольного параллелепипеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 с отношением рёбер АВ:АD:AA 1 =1:2:3 принята за начало прямоугольной системы координат, а векторы ВА, ½ВС и ВВ 1 приняты соответственно за единичные векторы i, j, k. Построение сечения по уравнению секущей плоскости. Вершина В прямоугольного параллелепипеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 с отношением рёбер АВ:АD:AA 1 =1:2:3 принята за начало прямоугольной системы координат, а векторы ВА, ½ВС и ВВ 1 приняты соответственно за единичные векторы i, j, k. Построим сечения параллелепипеда плоскостями α 1, α 2, α 3 заданными в этой системе координат соответственно следующими уравнениями: а) 4x+y-2z-2=0 б) 4x+y-2z=0 в) 2x-z-1=0 A1A1A1A1 B 1 (0;0;3) C1C1C1C1 D1D1D1D1 A(1;0;0) B(0;0;0) C (0;2;0) D

МОУ Решение: а) Для построения заданного сечения найдём 3 точки, принадлежащие плоскости α 1, но не лежащие на одной прямой, например точки пересечения с осями координат. Так, если плоскость α 1 пересекает ось Вx в точке К, то К имеет координаты (k;0;0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α 1, получим k=½. Таким образом плоскость α 1 пересекает Вx в точке К(½;0;0).Построим эту точку. A1A1A1A1 B 1 (0;0;3) C1C1C1C1 D1D1D1D1 A(1;0;0) B(0;0;0) C (0;2;0) D К (½;0;0)

МОУ Аналогичным способом найдём, что плоскость α 1 пересекает Вy в точке С(0;2;0), Bz в точке M(0;0;-1). Построим сечение призмы плоскостью α 1, проходящей через эти точки. Получаем четырёхугольник КСА 2 D 2. Аналогичным способом найдём, что плоскость α 1 пересекает Вy в точке С(0;2;0), Bz в точке M(0;0;-1). Построим сечение призмы плоскостью α 1, проходящей через эти точки. Получаем четырёхугольник КСА 2 D 2. A1A1A1A1 B 1 (0;0;3) C1C1C1C1 D1D1D1D1 A (1;0;0) A (1;0;0) B (0;0;0) B (0;0;0) D К(½;0;0) C (0;2;0) A 2 (1;0;1) D 2 (1;2;2) M(0;0;-1)

МОУ б) Так как в уравнении плоскости α2 нет свободного члена, то плоскость α2 проходит через начало заданной системы координат – точку В, то есть все координатные оси плоскость α2 пересекает в точке В. Плоскость α2 пересекает прямую АА1 в точке F(1;0;f). Подставляем эти координаты в уравнение плоскости α2, получим f=2. Таким образом, плоскость пересекает АА1 в точке F(1;0;2). Если, далее, плоскость α2 пересекает прямую DD1 в точке E(1;2;e). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α2, находим Е(1;2;3), то есть точка Е совпадает с точкой D1.

Тремя точками В, F и D1 сечение параллелепипеда плоскостью α2 определено. Строим сечение. Получаем четырёхугольник BFD1V. A1A1A1A1 B 1 (0;0;3) C1C1C1C1 D 1 (1;2;3) A(1;0;0) B(0;0;0) C (0;2;0) D V F (1;0;2)

МОУ в)Через начало системы координат плоскость α 3 не проходит, поэтому будем искать точки пересечения её с осями координат. A1A1A1A1 B 1 (0;0;3) C1C1C1C1 D1D1D1D1 A(1;0;0) B(0;0;0) C (0;2;0) D Т (½;0;0) Плоскость α 3 пересекает ось Bх в точке Т(t;0;0). Подставляем координаты Т в уравнение α 3 и находим, что плоскость α 3 пересекает Bх в точке Т(½;0;0), построим эту точку.

МОУ Пусть, далее, плоскость α3 пересекает ось Вy в точке U(0;u;0). Подставляя координаты точки U в уравнение плоскости α3, приходим к противоречию: -1=0. Это значит, что у плоскости α3 и оси Вy нет общих точек, то есть плоскость α3 параллельна оси Вy. A1A1A1A1 B 1 (0;0;3) C1C1C1C1 D1D1D1D1 A(1;0;0) B (0;0;0) B (0;0;0) D T(½;0;0) C (0;2;0) P (1;0;1) Q (1;2;1) W(0;0;-1) R Полагая затем, что плоскость α3 пересекает ось Вy в точке W(0;0;w), находим, что W(0;0;-1). Точками Т и W сечение параллелепипеда плоскостью α3, параллельной оси Вy, определяется.Строим это сечение получаем четырёхугольник ТРQR.

МОУ Нахождение площади сечения. При вычислении площади сечения многогранника можно, определив сначала вид полученной фигуры, воспользоваться затем соответствующей формулой. Нахождение площади сечения. При вычислении площади сечения многогранника можно, определив сначала вид полученной фигуры, воспользоваться затем соответствующей формулой. a b a b b a S=a·b S=½·a·b

МОУ В некоторых случаях бывает целесообразней найти площадь сечения по формуле: В некоторых случаях бывает целесообразней найти площадь сечения по формуле: S сеч = S пр сosφ Где S сеч – это площадь ортогональной проекции сечения на некоторую плоскость, а φ – это угол между плоскостью сечения и плоскостью её проекции.

МОУ ПРИМЕР: На ребре CD куба ABCDA1B1C1D1 взята точка P – середина этого ребра. Р АD D1D1 A1A1 BC B1B1 C1C1 Построим сечение куба плоскостью, проходящей через вершину В1 перпендикулярно прямой А1Р, и, считая ребро куба равным 1, найдём площадь полученного сечения.

I способ. А1 В1 С1 D1 D C P A B Построим заданное сечение векторно-координатным способом. Для этого зададим в пространстве прямоугольную пространстве прямоугольную систему координат Вxyz(точка В- начало системы систему координат Вxyz(точка В- начало системы координат координат ВА=i, BC=j, ВА=i, BC=j, BB 1 =k). BB 1 =k). В этой системе В этой системе координат координат В (0;0;0) В (0;0;0) А (1;0;0) А (1;0;0) С (0;1;0) С (0;1;0) В 1 (0;0;1) В 1 (0;0;1) А 1 (1;0;1) А 1 (1;0;1) Р(½;1;0) Р(½;1;0) (1;0;1) (0;0;1) (0;1;0) (0;0;0) (1;0;0) (½;1;0)

МОУ Находим координаты вектора А 1 Р А 1 Р{½ -1 ; 1-0 ; 0-1 } A 1 P{ - ½ ; 1 ; -1 } Вектор А 1 Р является нормальным вектором секущей плоскости. Тогда её уравнение будет следующим: (x-0)·(- ½)+(y-0)·1+(z-1)·(-1)=0, или после упрощения: (x-0)·(- ½)+(y-0)·1+(z-1)·(-1)=0, или после упрощения: x-2y+2z-2=0 Для построения сечения куба этой плоскостью найдём ещё какие-нибудь две точки, принадлежащие секущей плоскости. Находим, что прямую АА 1 секущая плоскость пересекает в точке F(1;0;½), а прямую А 1 D 1 - в точке Т(1; ½;1). Таким образом, сечением является ΔB 1 TF. Заметив, что в этом треугольнике В 1 F=B 1 T, и подсчитав, что B 1 F=(5):2, а FT=(2):2, найдём треугольнике В 1 F=B 1 T, и подсчитав, что B 1 F=(5):2, а FT=(2):2, найдём высоту В 1 Н этого треугольника. D1D1 D B(0;0;0) F (1;0; ½) T (1; ½;1) В 1 (0;0;1) А 1 (1;0;1) С1С1 C(0;1;0) A(1;0;0) B 1 H= (B 1 F 2 -FH 2 )= = ( )=¾·2 = ( )=¾·2 Тогда искомая площадь: S B1FT =½·FT·B 1 H= H

МОУ II способ Найдём площадь сечения, воспользовавшись формулой: S сеч = S пр сosφ D1D1 B(0;0;0) F (1;0; ½) T (1; ½;1) В 1 (0;0;1) А 1 (1;0;1) С1С1 C(0;1;0) A(1;0;0) D В рассматриваемом примере S пр - это площадь ΔА 1 В 1 Т, S пр - это площадь ΔА 1 В 1 Т, являющегося являющегося ортогональной проекцией сечения FB 1 T на плоскость А 1 В 1 С 1. Так как точка плоскость А 1 В 1 С 1. Так как точка Т- середина ребра А 1 D 1, Т- середина ребра А 1 D 1, то ясно, что S пр =¼. что S пр =¼.

МОУ Найдём cosφ, где φ-угол между плоскостями В 1 ТF и А 1 В 1 С 1.Для этого применим А 1 В 1 С 1.Для этого применим формулу: формулу: cos φ=|cos(n 1,n 2 )| Где n 1 и n 2 - нормальные векторы плоскостей B 1 TF и A 1 B 1 C 1.Так как плоскость B 1 TF перпендикулярна прямой А 1 Р, то вектор А 1 Р(-½;1:-1) является нормальным вектором этой плоскости. Ясно, что вектор ВВ 1 (0;0;1) является нормальным вектором плоскости A 1 B 1 C 1. Таким образом, cosφ=|cos(А 1 Р, ВВ 1 ) |=² 3 cosφ=|cos(А 1 Р, ВВ 1 ) |=² 3 Тогда S сеч =¾: 3 = Тогда S сеч =¾: 3 =

МОУ Автор презентации: Шабанов М.П Руководитель: Титова Р.А. В презентации использованы: материалы- В.Н.Литвиенко «Сборник задач по стереометрии с методами решений»; материалы- В.Н.Литвиенко «Сборник задач по стереометрии с методами решений»; музыкальное сопровождение- Queen-Show must go on, Ennio Morricone-тема к к/ф «Профессионалы».