История возникновения дробей

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим для того, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю с другими племенами. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела. Как правило это были пальцы рук и ног.

Первое понятие дроби появилось в связи с необходимостью дележа добычи после охоты, с потребностью измерять длину, площадь, объем, время и другие величины. При этом результат дележа добычи или измерений не всегда удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части употребляемой меры

Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3, 4 и более частей. Таким образом, в связи с необходимой работой люди стали употреблять выражения : половина, треть, четверть и т. д. Это позволяет сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин.

Дроби в Древней Греции В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел, отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Греки свободно владели всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не считали. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возится с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, астрономам, землемерам и другому « черному люду ».

Основатель афинской академии Платон

Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. Так в трактате « Об измерении круга » Архимед употребляет дроби. С дробями свободно обращался и Герон Александрийский. Он разбивает дробь на сумму основных дробей. Вместо 12\13 он пишет 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, вместо 5\12 пишет 1\3 + 1\12 и. т. п. Даже Пифагор, со священным трепетом относившийся к натуральным числам, создавая теорию музыкальной шкалы, связал основные музыкальные интервалы с дробями. Правда, самим понятием дроби Пифагор и его ученики не пользовались. Они позволяли себе говорить лишь об отношениях целых чисел. Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. Так в трактате « Об измерении круга » Архимед употребляет дроби. С дробями свободно обращался и Герон Александрийский. Он разбивает дробь на сумму основных дробей. Вместо 12\13 он пишет 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, вместо 5\12 пишет 1\3 + 1\12 и. т. п. Даже Пифагор, со священным трепетом относившийся к натуральным числам, создавая теорию музыкальной шкалы, связал основные музыкальные интервалы с дробями. Правда, самим понятием дроби Пифагор и его ученики не пользовались. Они позволяли себе говорить лишь об отношениях целых чисел.

Дроби в Древнем Египте В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице ( те, которые мы называем « долями »). Математики называют такие дроби аликвотными ( от лат. aliquot – несколько ). Так же используется название основные дроби или единичные дроби. Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.

Глаз Гора Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора ( Уаджет ). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз чудесное око и разрывает его в клочья. Тот бог учения, разума и правосудия снова сложил части глаза в одно целое, создав " здоровый глаз Гора ". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1 / 2 до 1 / 64. Глаз Гора

Таблица обозначений иероглифов дробей Иероглиф Значение Примерная величина большая часть глаза 1 / 2 ( или 32 / 64 ) зрачок 1 / 4 (или 16 / 64 ) бровь 1 / 8 ( или 8 / 64 ) меньшая часть глаза 1 / 16 ( или 4 / 64 ) капля слезы 1 / 32 ( или ²/ 64 ) знак сокола 1 / 64 Уаджет 63 / 64

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. хекат зерна хлеба пива Всякую другую дробь египтяне представляли как сумму аликвотных дробей, например 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 и так далее. Это записывалось так : /2 /16; /2 /4 /8.

Математический папирус Ринда Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Самый древний памятник египетской математики, так называемый « Московский папирус », - документ XIX века до нашей эры. Он был приобретен в 1893 году собирателем древних сокровищ Голенищевым, а в 1912 году перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В нем содержалось 25 различных задач.

Папирус Ахмеса Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей. Папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм аликвотных дробей. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. Вот, например, как 5 делили на 21:

Дроби в Древнем Вавилоне Известно, что в древнем Вавилоне использовали шестидесятеричную систему счисления. Ученые этот факт связывают с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей : 1 талант = 60 мин ; 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60

Вавилонские дроби Это первые в мире систематические дроби, т. е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. В этом недостаток и в то же время преимущество этих дробей. Эти дроби стали постоянным орудием научных вычислений греческих, а затем арабоязычных и средневековых европейских ученых вплоть до XV века, пока не уступили место десятичным дробям. Но шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов вплоть до XVII, называя их астрономическими дробями.

Вавилонская система исчисления В современной науке вавилонская шестидесятеричная система счисления применяется при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут.

Дроби в Древнем Риме Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т. е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1\12 римляне говорили « одна унция », 5\12 – « пять унций » и т. д.

унции А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, имелось ввиду, что пройдено 7/12 пути или прочитано 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия : скрупулус - 1/288 асса, семи - половина асса, секстан - шестая его доля, семи унция - половина унции, т. е. 1/24 асса и т. д.

Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил : Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику !. Приведу отрывок из произведения знаменитого римского поэта I века до нашей эры Горация, о беседе учителя с учеником в одной из римских школ той эпохи : - Учитель : Пусть скажет Сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию ! - Ученик : Одна треть. - Учитель : Правильно, ты хорошо знаешь дроби и сумеешь сберечь своё имущество.

Дроби в Древней Руси Первый русский математик, известный нам по имени, монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге « Учение им же ведати человеку числа всех лет » (1136 г.), т. е. « Наставление, как человеку познать счисление лет » применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т. д. доли, которые он называл « дробными часами » или « часцами ». В календарном счёте Кирик пользуется конкретными дробями, « дробными числами »: 1/5, 1/25, 1/125 и т. д

Наши предки - славяне пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией. Над буквами и числами ставился особый знак, названный – титло ~. Интересно отметить, что хотя в славянской нумерации запись числа шла слева направо, от высших единиц к низшим, но для чисел от 11 до 19 делалось исключение : сначала писали единицы, а затем знак для 10.

В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее « ломаными числами ». В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола « дробить » разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта. Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая – полу четверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.

Дроби Магницкого В 1703 г. выходит в свет первый русский печатный учебник по математике « Арифметика ». Автор Магницкий Леонтий Филлипович. Во 2- ой части этой книги О числах ломаных или с долями подробно излагается учение о дробях. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа ( не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т. п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач. Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. Например, дроби со знаменателем 6: едина шестина, две шестины, три шестины и т. д.

Дроби в Древнем Китае В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – « Математике в девяти книгах », окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Китайские математики умели сокращать дроби. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3 человека.

Дроби в Древнем Китае Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань : бань (« половина ») –1\2; шао бань (« малая половина ») –1\3; тай бань (« большая половина ») –2\3.

Дроби в Древней Индии Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии. Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. Впервые такие дроби встречаются в « Правилах веревки » Апастамбы (VII-V в. до н. э.), которые содержат геометрические построения и результаты некоторых вычислений. В Индии использовалась система записи – возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, – при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и « трехэтажное » выражение с тремя числами в одной рамке ; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c.

Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IX в. в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому ( аль - Хорезми ). В торговой практике стран Ислама широко пользовались единичными дробями, в науке применяли шестидесятиричные дроби и в гораздо меньшей мере обыкновенные дроби. Ал - Караджи (X-XI вв.), ал - Хассар (XII в.), ал - Каласади (XV в.) и другие ученые представляли в своих трудах правила представления обыкновенных дробей в виде сумм и произведений единичных дробей..

Сведения о дробях были перенесены в Западную Европу итальянским купцом и ученым Леонардо Фибоначчи из Пизы (XIII в.). Он ввел слово дробь, стал применять черту дроби (1202 г ), дал формулы для планомерного разбиения дробей на основные. Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд – греческий монах, ученый, математик. Способ приведения дробей к общему знаменателю был предложен в 1556 г. Н. Тартальей. Современная схема сложения обыкновенных дробей встречается в 1629 г. у А. Жирара

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».

Спасибо за внимание

Литература. Бородин А. И. Из истории арифметики. Головное издательство « Вища школа »- К.,1986 Глейзер Г. И. История математики в школе : IV- VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Москва, « Аванта +», Материал из Википедии свободной энциклопедии.