Методы решения иррациональных уравнений. Метод возведения в степень Пример 1. 5х – 1 = 4х 2 – 4х + 1 4х 2 – 9х + 2 = 0 х 1,2 = х 1 = 2 х 2 = Ответ: 2. - презентация

1 Методы решения иррациональных уравнений

2 Метод возведения в степень Пример 1. 5х – 1 = 4х 2 – 4х + 1 4х 2 – 9х + 2 = 0 х 1,2 = х 1 = 2 х 2 = Ответ: 2. посторонний кореньПроверка: х =

3 Пример 2. 8х х – 2 – 2 = 7х х – 5 – 2 (8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5) х = 3; х = - Проверка: х= - посторонний корень Ответ: 3.

4 Пример 3. Ответ:. х 3х 2 т.к. 3х 2. 3х 2 = 2 х 1 = - х 2 =, то ПроверкаПроверка:х = -посторонний корень

5 Метод составления смешанной системы Пример. Ответ: 7. Решение уравнений вида

6 Пример 1. Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной

7 Пример 2. Пусть х = у |y – 2| + |y – 3| = 1

8 1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10]

9 Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно

10 Метод умножения на сопряженное выражение Пример. (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х1,х1, х 2 - корни уравнения. |. () Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим: | : 2

11 Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений Пример 1. a – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = - 2 х = - 1 х = - 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7.

12 Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. Пример. f(x) = f(x) = 8 x = 4 возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4.

13 Самостоятельная работа Задание: решите уравнение.

14 При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения или, решив уравнение, проверить ответ ? Ответ

15 ? Пример 1.

16 ? Ответ Пример 2.

17 Пример 3. ? Ответ

18 Пример 4. ? Ответ

19 Пример 5. ? Ответ

20 Пример 6. ? Ответ

21 Пример 7. ? Ответ

22 Пример 8. ? Ответ

23 Пример 1. х Т.к., то 2х = 4 х = 2 Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой можно найти по формуле Проверка: next

24 Пример 2. Пусть y > 0. Получим уравнение Тогда у 2 + 3у – 4 = 0 у 1 = 1, у 2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0) 2 – х = 2 + х х = 0 Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения. Ответ: 0. next

25 х = 4 Ответ: 4. Пример 3. next

26 (1) | х=0 или Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим Ответ: -3; 0; 3. Пример 4. next

27 Пример 5. 1) 2) х – 3 = 27 х – 3 = -64 х = 30 х = -61 Ответ: -61; 30. next

28 Пример 6. Пусть 2х – 5 = у 2 | |y + 1| + |y + 3| = 14, т.к. у 0, то | y + 1| = y + 1, |y + 3| = y + 3 у у + 3 = 14 2у = 10 у = 5 Тогда х = 15. Ответ: 15. next

29 Пример 7. Пусть f(x) = D(f) = Т.к. данная функция строго возрастает на D(f), то уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня на указанном промежутке. Подбором определяем: х = 1. Ответ: 1. next

30 Метод возведения в степень х3х 2 т.к. 3х 2. 3х 2 = 2 х 1 = - х 2 = Ответ:., то Проверка:х = -посторонний корень назад

31 Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной назад

32 Метод составления смешанной системы Решение уравнений вида назад

33 Метод умножения на сопряженное выражение (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 |. ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х1,х1, х 2 - корни уравнения. () назад

34 Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений a – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = - 2 х = - 1 х = - 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7. назад

35 Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. f(x) = f(x) = 8 x = 4 Пример. возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4. назад

36 Метод введения новой переменной. Пусть х = у |y – 2| + |y – 3| = 1

37 1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10] назад

38 Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно назад

39 или х = 1 D < 0, решений нет Ответ: 1. next

40 Проверка: х = Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой можно найти по формуле назад

41 М о л о д е ц !