Функцию y=f(x), определённую на множестве натуральных чисел х N (или его конечном подмножестве), называют числовой последовательностью и обозначают y=f(n), или у 1, у 2,…, у n, …, или (у n ). Конечная последовательность. Бесконечная последовательность.

Аналитический Словесный Рекуррентный Способы задания последовательности: Рекуррентный (от лат. слова recurrens – «возвращающийся»)

… указывается формула n-го члена последовательности. Пример. Последовательность квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, … задаётся формулой у n = n 2. Пример. Если то при n= 2, при n=2 0 и т.д.

… правило составления последовательности выражается словесным описанием. Примеры. 1) Последовательность простых двузначных чисел, меньших 50, есть конечная последовательность: 11, 13, 17, 19, 23, , , 43, 47; 2) Бесконечная последовательность приближений иррационального числа = 1, …: 2, 1,7, 1,73, 1,732, 1, 7321, …

… указывается правило, позволяющее вычислить n-й член данной последовательности, если известны все её предыдущие члены. Пример. у 1 =1, у n = у n-1 n, если n2. Вычислим несколько первых членов этой последовательности: 1, 2, 6, 24, 120, ….

Примеры: 1) последовательность у n =3 n -2 можно рассматривать как функцию у=3 х-2, где х N ; 2) Последовательность у n = n 2 можно рассматривать как функцию у=х 2, где х N.

Монотонные последовательности Последовательность (y n ) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего: y 1 < y 2 < y 3 < y 4 < … < y n < y n+1 < … Последовательность (y n ) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > … > y n > y n+1 > …

Задача 1. Укажите номер функции, являющейся числовой последовательностью: 1) 2) 3) Ответ: 2

Задача 2 Является ли число членом последовательности ? Ответ: да.

Ограниченные последовательности Последовательность (y n ) называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого n из множества N выполняется неравенство yM. Иными словами, последовательность ограничена сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Число М – верхняя граница последовательности.

Ограниченные последовательности Последовательность (y n ) называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что для любого n из множества N выполняется неравенство ym. Иными словами, последовательность ограничена снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Число m – нижняя граница последовательности.

Числа Фибоначчи х 1 =х 2 =1; х n+2 =x n+1 +x n ; n=1; 2; 3; … Последовательность чисел Фибоначчи задается так: Вычислим несколько её первых членов: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34;55; 89; 144; 233; 377; … Бесконечная числовая таблица треугольной формы, где по боковым сторонам стоят 1, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа Продолжите строку! Треугольник Паскаля

Арифметическая прогрессия

Определение Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого числа d. (a n ) - арифметическая прогрессия, если a n = a n-1 +d, где d-разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии. d=a n+1 -a n +d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d+d a2a2 a1a1 a3a3 anan a n-1 a n+1

Свойства прогрессии 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей. Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей. ÷a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,… d=4, a n+1 >a n d=-3, a n+1 <a n d=0, a n+1 =a n

Формула n-ого члена арифметической прогрессии a 1 a 2 =a 1 +d a 3 =a 2 +d=a 1 +2d a 4 =a 3 +d=a 1 +3d …………………….. a n =a n-1 +d=a 1 +(n-1)d a n =a 1 +d (n-1)

Характеристическое свойство арифметической прогрессии Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Пример 1. Последовательность (c n )- арифметическая прогрессия. Найдите c 81, если c 1 =20 и d=3. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с 81 =с 1 +d(81-1), c 81 =20+3·80, c 81 =260. Ответ: 260.

Задача Последовательность (c n ) - арифметическая прогрессия. Найдите c 21, если c 1 =5,8 и d=-1,5. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с 21 =с 1 +d(21-1), c 21 =5,8+(-1,5)·20, c 21 =-24,2. Ответ: -24,2.

Арифметическая прогрессия. Свойство. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой a n =kn+b, где k и b – некоторые числа.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Задача Найти сумму первых шестидесяти членов арифметической прогрессии (a n ), если a 1 =3, a 60 =57 Решение: