Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии Методическая разработка Т.С. Панкратовой, учителя МАОУ «СОШ 127» г. Перми

Карл Гаусс (1777 – 1855) Математический талант Гаусса проявился ещё в детстве. По легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс быстро вычислил. выдающийся немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён. «Король математики» = … Вычислите: = 101 *50

Найти сумму первых 100 натуральных чисел S – сумма S= … S= … S=101*100 |:2 S=1+2+3+… =5050

Найти сумму первых 10 натуральных чисел = = =

S n – сумма первых n членов арифметической прогрессии …………………………………………………………………………………………………………………………

2 S = n (a + a ) 1n n : 2 a n = a + d(n – 1) 1

Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой: Данная последовательность вида a =k n + b, значит, это арифметическая прогрессия n Решение

Найдём сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5;… a = 1 4,d = a – 2 a = 1 1,5 772,5 Ответ: 772,5

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на 5. Задача 19. ГИА – 2011 г. Решение S – искомая сумма; S = S – S, 1 2 где S – сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 150, 1 S – сумма всех натуральных чисел, кратных 5 и не превосходящих ; 2; 3; … 150 – арифметическая прогрессия S = 1 5; 10; … 150 – арифметическая прогрессия b = 1 5; b = n 150;d =5; b = n 5n; 5n = 150;n = 30 S = 2 S 1 – 2 –= = 75 (151 – 31) =9 000 Ответ:9 000

690(в) Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3, заключенных в промежутке от 100 до 200. Формула, задающая натуральные числа кратные 3: Решение 3n3n Что об этих числах вы знаете? По условию 100 < 3n < 200: 3 значит, члены последовательности с 34 по 66 удовлетворяют данному условию. Последовательность:102; 105; 108; … ; 198 по определению арифметическая прогрессия, первый член которой 102; разность равна 3,последний член –198. Сколько членов в этой прогрессии?n =66 – 33 = Ответ:4 950

691(б) Найдите сумму натуральных чисел больших 50, но меньших 150 и не кратных 5? Решение S = Исключаем числа:55;60;65; …; … Анализируем S – искомая сумма, S – сумма натуральных чисел больших 50, но меньших S – сумма натуральных чисел больших 50, но меньших 150 и кратных 5. 2 S =S 1 – S 2 Последовательность чисел: 51; 52; … 149 – арифметическая прогрессия со знаменателем 1.

, где 51, 149, n = 149 – 50 = Последовательность чисел: 55; 60; 65; … ; 145 – арифметическая прогрессия со знаменателем 5. b = 1 55, b = n 145,n = b = n b + 1 (n – 1)d d =5, (n – 1) = 145 5(n – 1) = 90 n – 1 = 18 n = = S = – = Ответ:

Задача.Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии – 42; – 38; – 34; …, сумма которых меньше 150. Решение. = 4 (– n – 2)n < 150: 2 (– 22 + n)n < 75 y = 0; n = 25 или n = – 3 – 3 25 n n – натуральное число, поэтому n =1;2;3; … ;24. Наибольшее число – 24 Ответ: 24