Аналогия методов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве Аничкина Валентина Викторовна учитель Сытьковской общеобразовательной школы

Метод дополнительных построений ( планиметрия ) Боковая сторона АВ трапеции АBCD равна l, а расстояние от середины CD до прямой AB равно m. Найти площадь трапеции АВСД. Достроим трапецию АВСД, продолжив АК до пересечения с ВС. Рассмотрим подобные треугольники АМК и АВF. КН перпендикулярна АВ, значит КН=m. S АМК =.Треугольники СFК и ДАК равны ( по второму признаку). S АBF =lm. S АВСД = S АВF. Ответ: S АВСД = lm....

Метод дополнительных построений( стереометрия ) В треугольной пирамиде РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды, если РА = 2, РВ = 3, РС = 4. Достроим данную пирамиду до прямоугольного параллелепипеда (рис. 9). Как известно, его диагонали равны и имеют общую середину O. Точка O равноудалена от вершин параллелепипеда и, следовательно, является центром его описанной сферы, которая, разумеется, будет и описанной сферой пирамиды. Следовательно, радиус R сферы равен половине диагонали d параллелепипеда, а ее площадь равна

Метод площадей ( планиметрия ) В треугольнике АВС, площадь которого равна S, биссектриса СЕ и медиана BD пересекаются в точке F. Найдите площадь четырехугольника ADFE, если ВС= а, АС= b. (отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, равно отношению сторон, к которым эти высоты проведены). Медиана ВD делит треугольник на два равновеликих треугольника АВD и ВDС. Применить свойство биссектрисы = = =. S DFС = в этом отношении. Аналогично предыдущему пункту найти площадь треугольника АСЕ. S ACE=. Площадь ADFE найти как разность площадей треугольников ACE и CFD. Ответ:

Метод объемов ( стереометрия) Дан конус с вершиной M, радиус основания которого равен 6. На окружности его основания выбраны точки A, B, C так, что углы BMA, AMC, CMB равны 90° каждый. Точка F выбрана на дуге BC окружности основания конуса, не содержащей точки A, так, что объем пирамиды MABFC наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости МАВ. Пирамида MABC правильная (рис. 11), а F середина дуги BC. Искомое расстояние h F это высота пирамиды MABF, опущенная на грань ABM. Высоту h C пирамиды MABC, опущенную на ту же грань, легко найти она совпадает с ребром CM и равна h c = = * = Находим отношение h F : h C, а оно равно отношению объемов пирамид. Имеем: = = =

Алгебраический метод ( планиметрия ) Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы, проведенные из вершин А и В, перпендикулярны. Точка О – точка пересечения медиан. Рассмотреть подобие треугольников А 1 ОВ 1 и АОВ с коэффициентом подобия. Обозначить А 1 О=х, В 1 О=у. = = =. Применим теорему Пифагора для треугольников А 1 ОВ и В 1 ОА. Из полученной системы найти х и у. А 1 В² =А 1 О² + ВО², АВ 1 ²= АО² + В 1 О², 2² =х² + ВО², 1,5² = y² + АО², х²=, y²=. Подставив найденные выражения, Вычислим АВ. АВ=.Находим площадь треугольника по формуле Герона: S=

Алгебраический метод (стереометрия) В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ребро которого равно 6, найдите: а) расстояние от вершины А 1 до плоскости ВС 1 D; б) угол между диагональю ВА 1 грани АА 1 В 1 В и плоскостью ВС 1 D Рассмотрим тетраэдр A 1 BC 1 D (рис. 5). Все его ребра диагонали граней куба (они равны ), то есть этот тетраэдр правильный. Расстояние от его вершины A 1 до грани BC 1 D есть его высота, и найти ее можно через объем. Тетраэдр получается в результате отрезания от куба плоскостями его граней четырех равных «прямоугольных» тетраэдров. Возьмем один из них, например, ABDA 1. Площадь его основания ABD вдвое меньше площади грани куба, а высота равна высоте куба, поэтому его объем в 6 раз меньше объема куба =, ; = (1 - ) = =72 Площадь S равностороннего треугольника BDC 1 равна (6 )²=18 Следовательно искомое расстояние равно =4

б) Если из точки P проведены к некоторой плоскости наклонная длины l и перпендикуляр h (рис. 6), то угол a между наклонной и плоскостью можно найти по формуле sin а=. В нашей задаче l=ВА 1 =, h= а=arcsin =arcsin

Спасибо за внимание