«Теорема Пифагора и способы её доказательства» Управление образования администрации городского округа город Волжский Волгоградской области Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 14 «Зелёный шум» Автор: Тагаева К.И. Руководитель: Руководитель: Лопатина И.С.

Cуть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорно безупречна… Шамиссо

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора…» Теорема Пифагора Иоганн Кеплер

Цель: Рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы Пифагора Рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы Пифагора Познакомиться с областями применения теоремы и с фактами истории открытия теоремы Пифагора Познакомиться с областями применения теоремы и с фактами истории открытия теоремы Пифагора Сделать выводы о значимости теоремы Пифагора Сделать выводы о значимости теоремы Пифагора

Пифагор Самосский ( Пифагор Самосский ( гг. до н.э.)

Некоторые факты из жизни Пифагора: Родился на о.Самосе около 570 г. до н.э. Учился во многих городах мира у великих учёных- Ферекида, Фалеса, Гермодаманта… В Египте Пифагор попал в персидский плен,где пробыл 12 лет В Кротоне(Италия) учредил «Пифагорейскую школу»

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. c a b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, основанное на равновеликости фигур: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Алгебраический метод доказательства теоремы: c c c c a a a a b b b b Пусть F- прямоугольный треугольник со сторонами a,b и c,а Q- квадрат со стороной с. S ABCD = 4S + S Q = = 4·1/2 ab +c 2 = = 2 ab + c 2 S ABCD = (а+b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 2 ab + c 2 =a 2 + 2ab +b 2 => c 2 = a 2 +b 2 A B D C F F F FF Q

Доказательство теоремы Пифагора через косинус угла: Доказательство теоремы Пифагора через косинус угла: D A CB c a b Построим высоту из прямого угла С. По определению косинуса: Cos A= AD:AC=AC:AB 2 AB*AD=AC Сos B= BD:BC=BC:ABAB*BD=BC 2 Т.К. AD+DB=AB AC +BC =AB(AD+DB)=AB, 2 2 2

Векторное доказательство теоремы: АВС - прямоугольный треугольник, построенный на векторах. b+c=a c = a - b c²=a²+b²-2ab Т.к. a b, то ab=0, c²=a²+b² или c²=a²+b²

Доказательство Гарфилда: ABC-прямоугольный треугольник 1 )CD =AВ; ED=АС; ЕD AD 2) S ABED =2*AB*AC/2+BC/ 2 3) S ABED =(DE+AB)*AD/2. 4) AB*AC+BC /2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC /2= (AC+AB) /2 AB*AC+BC/2= AC/2+AB/2+AB*AC BC=AB+AC

Пусть катеты прямоугольных-ков d равны a и b, а гипотенуза – с. Тогда (a b) +(4ab)/2= с, то есть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БХАСКАРИ-АЧАРНА: С С С С d d d d 22 a a a a b b b b

ABC-прямоугольный повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. A'АВ'В : AA C=b²/2 SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 A'В'А и A'В'В: DA и DB-общие, SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая полученные выражения: (a²+b²)/2= c²/2 a²+b²=c² Доказательство Хоукинса: С С

ABC-прямоугольный ; AJ- высота. Докажем: S1+S2=S3 1. ABD= BFC (т.к. BF=AB; BC= BD; FBC равен ABD) 2. S ABD=1/2 S BJLD, т.к. у ABD и BJLD общее основание BD и общая высота LD. S FBC=1/2 S ABFH (BF- общ.основание, AB-общая высота). Т.К. S ABD=S FBC, S BJLD=S ABFH. BCK= ACE, S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKG=S BJLD+ S JCEL=S BCED.. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА: S3S3 S2 S1

Области применения теоремы Пифагора

Теорема Пифагора- живительный источник красоты, совершенства и творчества для новых поколений!

Список использованной литературы А.П.Киселёв,Геометрия. Часть первая. Планиметрия, Москва,Просвещение,1969г.А.П.Киселёв,Геометрия. Часть первая. Планиметрия, Москва,Просвещение,1969г. Г. Глейзер,Учебно-методическая газета Математика, г.Г. Глейзер,Учебно-методическая газета Математика, г. Г.Остренкова,Учебно-методическая газета Математика, г.Г.Остренкова,Учебно-методическая газета Математика, г. Е.Е.Семёнов «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение,1987г.Е.Е.Семёнов «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение,1987г. З.А.Скопец Геометрические миниатюры, Москва, Просвещение,1990г.З.А.Скопец Геометрические миниатюры, Москва, Просвещение,1990г. Интернет-источники:Интернет-источники: М.В.Ткачева Домашняя математика, Москва, Просвещение,1994г.М.В.Ткачева Домашняя математика, Москва, Просвещение,1994г.